1991年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

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1991年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

\sin a = \frac{4}{5}

, 并且

a

是第二象限的角, 那么

tg a

的值等于

A.

- \frac{4}{3}

B.

- \frac{3}{4}

C.

\frac{3}{4}

D.

\frac{4}{3}

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2. 焦点在

(- 1, 0)

, 顶点在

(1, 0)

的抛物线方程是

A.

y^{2} = 8 (x + 1)

B.

y^{2} = - 8 (x + 1)

C.

y^{2} = 8 (x - 1)

D.

y^{2} = - 8 (x - 1)

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3. 函数

y = \cos^{4} x - \sin^{4} x

的最小正周期是

A.

\frac{π}{2}

B.

π

C.

2 π

D.

4 π

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4. 如果把两条异面直线看成 “一对”, 那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中, 异面直线共有

A.

12对

B.

24对

C.

36对

D.

48对

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5. 函数

y = \sin (2 x + \frac{5 π}{2})

的图像的一条对称轴的方程是

A.

x = - \frac{π}{2}

B.

x = - \frac{π}{4}

C.

x = \frac{π}{8}

D.

x = \frac{5 π}{4}

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6. 如果三棱锥

S - A B C

的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点

S

在底面的射影 O 在

△ A B C

内, 那么 O 是

△ A B C

的

A.

垂心

B.

重心

C.

外心

D.

内心

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7. 已知

{a_{3}}

是等比数列, 且

a_{3} > 0, a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = 25

, 那么

a_{3} + a_{6}

的值等于

A.

B.

C.

D.

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8. 如果圆锥曲线的极坐标方程为

ρ = \frac{16}{5 - 3 \cos θ}

, 那么它的焦点的极坐标为

A.

(0, 0), (6, π)

B.

(- 3, 0), (3, 0)

C.

(0, 0), (3, 0)

D.

(0, 0), (6, 0)

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9. 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台, 其中至少要有甲型与乙型电视机各 1 台,则不同的取法共有

A.

140种

B.

84 种

C.

70 种

D.

35 种

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10. 如果

A C < 0

且

B \subset< 0

, 那么直线

A x + B y + C = 0

不通过

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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11. 设甲、乙、丙是三个命题. 如果甲是乙的必要条件; 丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 那么

A.

丙是甲的充分条件, 但不是甲的必要条件

B.

丙是甲的必要条件, 但不是甲的充分条件

C.

丙是甲的充要条件

D.

丙不是甲的充分条件, 也不是甲的必要条件

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12.

lim_{n \to \infty} [n (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{5})] \dots (1 - \frac{1}{n + 2})]

的值等于

A.

B.

C.

D.

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13. 如果奇函数

f (x)

在区间

[3, 7]

上是增函数且最小值为 5 , 那么

f (x)

在区间

[- 7

- 3]

上是

A.

增函数且最小值为一 5

B.

增函数且最大值为 -5

C.

减函数且最小值为 -5

D.

减函数且最大值为 -5

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14. 圆

x^{2} + 2 x + y^{2} + 4 y - 3 = 0

上到直线

x + y + 1 = 0

的距离为

\sqrt{2}

的点共有

A.

1 个

B.

2 个

C.

3 个

D.

4 个

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15. 设全集为R,

f (x) = \sin x, g (x) = \cos x, N \neq {x ∣ f (x) \neq 0}, N = {x ∣ g (x) \neq 0}

, 那么集合

{x ∣ f (x) g (x) = 0}

等于

A.

\bar{M} \cap \bar{N}

B.

\bar{M} Y N

C.

M Y \bar{N}

D.

\bar{M} Y \bar{N}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

16.

arctg \frac{1}{3} + arctg \frac{1}{2}

的值是

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17. 不等式

6^{x^{2} + x - 2} < 1

的解集是

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18. 已知正三棱台上底面边长为 2 , 下底面边长为 4 , 且侧棱与底面所成的角是

45^{\circ}

,那么这个正三棱台的体积等于

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19.

(a x + 1)^{7}

的展开式中,

x^{2}

的系数是

x^{2}

的系数与

x^{2}

的系数的等差中项. 若实数

a > 1

, 那么

a =

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20. 在球面上有四个点

P 、 A 、 B 、 C

, 如果

P A 、 P B 、 P C

两两互相垂直, 且

P A = P B = P C

= a

. 那么这个球面的面积是

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

21. 设

a ⩾ 0

, 在复数集

C

中解方程

z^{2} + 2 | z | = a

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22. 求函数

y = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos^{2} x

的最小值，并写出使函数

y

取最小值的

x

的集合.

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23. 已知复数

z = 1 + i

, 求复数

\frac{z^{2} - 3 z + 6}{z + 1}

的模和辐角的主值.

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24. 已知

A B C D

是边长为 4 的正方形,

E 、 F

分别是

A B 、 A D

的中点,

G C

垂直于

A B C D

所在的平面, 且

G C = 2

. 求点

B

到平面

E F G

的距离.

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25. 根据函数单调性的定义, 证明函数

f (x) = - x^{3} + 1

在

(- \infty, + \infty)

上是减函数.

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26. 已知

n

为自然数, 实数

a > 1

, 解关于

x

的不等式

\log_{2} x - \log_{a^{2}} x + 12 \log_{a^{3}} x + \dots + n (n - 2)^{n - 1} \log_{a^{n}} x > \frac{1 - (- 2)^{n}}{3} \log_{a} (x^{2} - a)

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27. 双曲线的中心在坐标原点

O

, 焦点在

x

轴上, 过双曲线右焦点且斜率为

\sqrt{\frac{3}{5}}

的直线交双曲线于

P 、 Q

两点. 若

O P ⊥ O Q, | P Q | = 4

, 求双曲线的方程.

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28. 设

{a_{n}}

是等差数列,

b_{n} = {(\frac{1}{2})}_{n}^{a}

. 已知

b_{1} + b_{2} + b_{3} = \frac{21}{8}, b_{1} b_{2} b_{3} = \frac{1}{8}

. 求等差数列的通项

a_{n}

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29. 设

a > 0, a \neq 1

, 解关于

x

的不等式

a^{x^{4} - 2 x^{2}} > {(\frac{1}{a})}^{a^{2}}

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30. 已知椭圆的中心在坐标原点

O

, 焦点在坐标轴上, 直线

y = x + 1

与该椭圆相交于

P

和

Q

,且

O P ⊥ O Q, | P Q | = \frac{\sqrt{10}}{2}

. 求椭圆的方程.

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