单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\int_0^{x^2} \ln (2+t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime}(x)$ 的零点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
函数 $f(x, y)=\arctan \frac{x}{y}$ 在点 $(0,1)$ 处的梯度等于
$\text{A.}$ i
$\text{B.}$ -i
$\text{C.}$ j
$\text{D.}$ -j
在下列微分方程中，以
$$
y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x
$$
$\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内单调有界， $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{D.}$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调，则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵， $E$ 为 $n$ 阶单位阵. 若 $A^3=O$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
$\text{B.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{C.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 不可逆
设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
$$
(x, y, z) A\left(\begin{array}{l}
x \\
y \\
z
\end{array}\right)=1
$$
在正交变换下的标准方程为双叶双曲面方程，则 $\boldsymbol{A}$ 的正特征值个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\max \{X, Y\}$ 的分布函数为
$\text{A.}$ $F^2(x)$
$\text{B.}$ $F(x) F(y)$
$\text{C.}$ $1-[1-F(x)]^2$
$\text{D.}$ $[1-F(x)][1-F(y)]$
随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,4)$ ，且相关系数 $\rho_{X Y}=1$ ，则
$\text{A.}$ $P\{Y=-2 X-1\}=1$
$\text{B.}$ $P\{Y=2 X-1\}=1$
$\text{C.}$ $P\{Y=-2 X+1\}=1$
$\text{D.}$ $P\{Y=2 X+1\}=1$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
曲线 $\sin (x y)+\ln (y-x)=x$ 在点 $(0,1)$ 的切线方程为
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=0$ 处收敛，在 $x=-4$处发散，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-3)^n$ 的收敛域为
设曲面 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的上侧，则
$$
\iint_{\Sigma} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=
$$
设 $A$ 为 2 阶矩阵， $\alpha_1, \alpha_2$ 为线性无关的 2 维列向量，
$$
A \alpha_1=0, A \alpha_2=2 \alpha_1+\alpha_2
$$
则 $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则
$$
P\left\{X=E X^2\right\}=
$$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$.
计算曲线积分 $\int_L \sin 2 x \mathrm{~d} x+2\left(x^2-1\right) y \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$是曲线 $y=\sin x$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(\pi, 0)$ 的一段.
已知曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2 z^2=0 \\ x+y+3 z=5\end{array}\right.$, 求 $C$ 上距离 $x O y$ 面最远的点和最近的点.
设 $f(x)$ 是连续函数，
(1) 利用定义证明函数 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 可导，$F^{\prime}(x)=f(x) ;$
(2) 当 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数时，证明函数
$$
G(x)=2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t-x \int_0^2 f(t) \mathrm{d} t
$$
也是以 2 为周期的周期函数.
将函数 $f(x)=1-x^2(0 \leq x \leq \pi)$ 展开成余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 的和.
设 $\alpha, \beta$ 为 3 维列向量，矩阵 $A=\alpha \alpha^T+\beta \beta^T$ ，其中 $\alpha^T, \beta^T$ 分别是 $\alpha, \beta$ 的转置. 证明:
(1) 秩 $r(A) \leq 2$;
(2) 若 $\alpha, \beta$ 线性相关，则秩 $r(A) < 2$.
设 $n$ 元线性方程组 $A x=b$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
2 a & 1 & & & \\
a^2 & 2 a & 1 & & \\
& a^2 & 2 a & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & a^2 & 2 a & 1 \\
& & & & a^2 & 2 a
\end{array}\right)_{n \times n}, x=\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)
$$
(1) 证明行列式 $|A|=(n+1) a^n$;
(2) 当 $a$ 为何值时，该方程组有惟一解，并求 $x_1$.
(3) 当 $a$ 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 与 $Y$ 相互独立， $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=i\}=\frac{1}{3}(i=-1,0,1) ，
$$
$\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为
$$
f_{\mathrm{y}}(y)=\left\{\begin{array}{l}
1,0 \leq y < 1 \\
0, \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {, }
$$
记 $Z=X+Y$.
(1) 求 $P\left\{\left.Z \leq \frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$;
(2) 求 $Z$ 的概率密度 $f_Z(z)$.
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 记
$$
\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \quad S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \quad T=\bar{X}
$$
(1) 证明 $T$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计量；
(2) 当 $\mu=0, \sigma=1$ 时，求 $D(T)$.