2004年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2004年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} \cos t^{2} d t, β = \int_{0}^{x^{2}} \tan \sqrt{t} d t, γ = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^{3} d t ，

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

A.

α, β, γ

B.

α, γ, β

C.

β, α, γ

D.

β, γ, α

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2. 设

f (x) = | x (1 - x) |

，则

A.

x = 0

是

f (x)

的极值点，但

(0, 0)

不是曲线

y = f (x)

的拐点

B.

x = 0

不是

f (x)

的极值点，但

(0, 0)

是曲线

y = f (x)

的拐点

C.

x = 0

是

f (x)

的极值点，且

(0, 0)

是曲线

y = f (x)

的拐点

D.

x = 0

不是

f (x)

的极值点,

(0, 0)

也不是曲线

y = f (x)

的拐点

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lim_{n \to \infty} \ln \sqrt[n]{{(1 + \frac{1}{n})}^{2} {(1 + \frac{2}{n})}^{2} \dots {(1 + \frac{2}{n})}^{2}}

等于

A.

\int_{1}^{2} \ln^{2} x d x

B.

2 \int_{1}^{2} \ln x d x

C.

2 \int_{1}^{2} \ln (1 + x) d x

D.

\int_{1}^{2} \ln^{2} (1 + x) d x

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4. 设函数

f (x)

连续，且

f^{'} (0) > 0

, 则存在

δ > 0

, 使得

A.

f (x)

在

(0, δ)

内单调增加

B.

f (x)

在

(- δ, 0)

内单调减少

C.

对任意的

x \in (0, δ)

有

f (x) > f (0)

D.

对任意的

x \in (- δ, 0)

有

f (x) > f (0)

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5. 微分方程

y^{''} + y = x^{2} + 1 + \sin x

的特解形式可设为

A.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + x (A \sin x + B \cos x)

B.

y^{*} = x (a x^{2} + b x + c + A \sin x + B \cos x)

C.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + A \sin x

D.

y^{*} = a x^{2} + b x + c + B \cos x

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6. 设函数

f (u)

连续，区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

, 则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d x \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x y) d y

B.

2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{\sqrt{2 y - y^{2}}} f (x y) d x

C.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) d r

D.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) r d r

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7. 设

A

是 3 阶方阵，将

A

的第 1 列与第 2 列交换得

B

，再把

B

的第 2 列加到第 3 列得

C

，则满足

A Q = C

的可逆矩阵

Q

为

A.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array})

B.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

C.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array})

D.

(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

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8. 设

A, B

为满足

A B = O

的任意两个非零矩阵，则必有

A.

A

的列向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

B.

A

的列向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关.

C.

A

的行向量组线性相关，

B

的行向量组线性相关.

D.

A

的行向量组线性相关，

B

的列向量组线性相关

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{(n - 1) x}{n x^{2} + 1}

, 则

f (x)

的间断点为

x =

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10. 设函数

y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = t^{3} + 3 t + 1 \\ y = t^{3} - 3 t + 1 \end{cases}

确定，则曲线

y = y (x)

向上凸的

x

取值范围为

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11.

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} - 1}} =

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12. 设函数

z = z (x, y)

由方程

z = e^{2 x - 3 z} + 2 y

确定，则

3 \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} =

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13. 微分方程

(y + x^{3}) d x - 2 x d y = 0

满足

{y |}_{x = 1} = \frac{6}{5}

的特解为

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14. 6、设矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，矩阵

B

满足

A B A^{*} = 2 B A^{*} + E,

其中

A^{*}

为

A

的伴随矩阵，

E

是单位矩阵，则

| B | =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{3}} [{(\frac{2 + \cos x}{3})}^{x} - 1]

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16. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上有定义，在区间

[0, 2]

上

f (x) = x (x^{2} - 4)

. 若对任意

x

都满足

f (x) = k f (x + 2)

，其中

k

为常数.
（1）写出

f (x)

在

[- 2, 0]

上的表达式;
（2）问

k

为何值时，

f (x)

在

x = 0

处可导.

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17. 设

f (x) = \int_{x}^{x + \frac{π}{2}} | \sin t | d t

.
(1) 证明

f (x)

是以

π

为周期的周期函数；
(2) 求

f (x)

的值域.

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18. 曲线

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

与直线

x = 0, x = t (t > 0)

及

y = 0

围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕

x

轴旋转一周得一旋转体，其体积为

V (t)

，侧面积为

S (t)

，在

x = t

处的底面积为

F (t)

.
(1) 求

\frac{S (t)}{V (t)}

的值；
(2) 计算极限

lim_{t \to + \infty} \frac{S (t)}{F (t)}

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19. 设

e < a < b < e^{2}

. 证明

\ln^{2} b - \ln^{2} a > \frac{4}{e^{2}} (b - a)

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20. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为

700 km / h

. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比 (比例系数为

k = 6.0 \times 10^{6}

) 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少? ( kg 表示千克，

km / h

表示千米 (小时).

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21. 设

z = f (x^{2} - y^{2}, e^{x y})

，其中

f

具有连续二阶偏导数，求

\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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22. 设有齐次线性方程组

{\begin{matrix} (1 + a) x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0, \\ 2 x_{1} + (2 + a) x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} = 0, \\ 3 x_{1} + 3 x_{2} + (3 + a) x_{3} + 3 x_{4} = 0, \\ 4 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} + (4 + a) x_{4} = 0, \end{matrix}

试问

a

取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解.

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23. 设矩阵

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & - 3 \\ - 1 & 4 & - 3 \\ 1 & a & 5 \end{array})

的特征方程有一个二重根，求

a

的值，并讨论

A

是否可相似对角化.

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