2003年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2003年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设

{a_{n}}, {b_{n}}, {c_{n}}

均为非负数列，

lim_{n \to \infty} a_{n} = 0, lim_{n \to \infty} b_{n} = 1, lim_{n \to \infty} c_{n} = \infty,

则必有

A.

a_{n} < b_{n}

对任意

n

成立

B.

b_{n} < c_{n}

对任意

n

成立

C.

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

D.

lim_{n \to \infty} b_{n} \cdot c_{n}

的极限不存在

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2. 设

a_{n} = \frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n + 1}} x^{n - 1} \sqrt{1 + x^{n}} d x

，则极限

lim_{n \to \infty} n a_{n}

等于

A.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} + 1

B.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} - 1

C.

{(1 + e^{- 1})}^{\frac{3}{2}} + 1

D.

(1 + e)^{\frac{3}{2}} - 1

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3. 已知

y = \frac{x}{\ln x}

是微分方程

y^{'} = \frac{y}{x} + φ (\frac{x}{y})

的解，则

φ (\frac{x}{y})

的表达式为

A.

- \frac{y^{2}}{x^{2}}

B.

\frac{y^{2}}{x^{2}}

C.

- \frac{x^{2}}{y^{2}}

D.

\frac{x^{2}}{y^{2}}

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4. 设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，其导函数的图形如下图所示，则

f (x)

有

A.

一个极小值点和两个极大值点

B.

两个极小值点和一个极大值点

C.

两个极小值点和两个极大值点

D.

三个极小值点和一个极大值点

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5. 设

I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan x}{x} d x, I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{\tan x} d x

，则

A.

I_{1} > I_{2} > 1

B.

1 > I_{1} > I_{2}

C.

I_{2} > I_{1} > 1

D.

1 > I_{2} > I_{1}

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6. 设向量组

I : α_{1}, α_{2}, \dots, α_{r}

可由向量组 I :

β_{1}, β_{2}, \dots, β_{s}

线性表示，则

A.

当

r < s

时，向量组 II 必线性相关

B.

当

r > s

时，向量组 II 必线性相关

C.

当

r < s

时，向量组｜必线性相关

D.

当

r > s

时，向量组 I 必线性相关

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二、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

7. 若

x \to 0

时，

{(1 - a x^{2})}^{\frac{1}{4}} - 1

与

x \sin x

是等价无穷小，则

a =

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8. 设函数

y = f (x)

由方程

x y + 2 \ln x = y^{4}

所确定，则曲线

y = f (x)

在点

(1, 1)

处的切线方程是

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9. 函数

y = 2^{x}

的麦克劳林公式中

x^{n}

项的系数是

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10. 设曲线的极坐标方程为

ρ = e^{a θ} (a > 0)

，则该曲线上相应于

θ

从 0 变到

2 π

的一段弧与极轴所围成的图形的面积为

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11. 设

α

为 3 维列向量，

α^{T}

是

α

的转置，若

α α^{T} = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{array}) .

则

α^{T} α =

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12. 设三阶方阵

A, B

满足

A^{2} B - A - B = E

，其中

E

为三阶单位矩阵，若

A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 \end{array})

，则

| B | =

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13. 设函数

f (x) = {\begin{array}{cl} \frac{\ln (1 + a x^{3})}{x - \arcsin x} & x < 0 \\ 6 & x = 0 \\ \frac{e^{a x} + x^{2} - a x - 1}{x \sin (x / 4)} & x > 0 \end{array}

，问

a

为何值时，

f (x)

在

x = 0

处连续；

a

为何值时，

x = 0

是

f (x)

的可去间断点?

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14. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{cases} x = 1 + 2 t^{2} \\ y = \int_{1}^{1 + 2 \ln t} \frac{e^{u}}{u} d u \end{cases}

(t > 1)

所确定，求

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{x - 9}

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15. 计算不定积分

\int \frac{x e^{\arctan x}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x

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16. 设函数

y = y (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有二阶导数，且

y^{'} \neq 0, x = x (y)

是

y = y (x)

的反函数.
(1)试将

x = x (y)

所满足的微分方程

\frac{d^{2} x}{d y^{2}} + (y + \sin x) {(\frac{d x}{d y})}^{3} = 0

变换为

y = y (x)

满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件

y (0) = 0, y^{'} (0) = \frac{3}{2}

的解.

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17. 讨论曲线

y = 4 \ln x + k

与

y = 4 x + \ln^{4} x

的交点个数.

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18. 设位于第一象限的曲线

y = f (x)

过点

(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})

，其上任一点

P (x, y)

处的法线与

y

轴的交点为

Q

，且线段

P Q

被

x

轴平分.
(1) 求曲线

y = f (x)

的方程;
（2）已知曲线

y = \sin x

在

[0, π]

上的弧长为

l

，试用

l

表示曲线

y = f (x)

的弧长

s

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19. 有一平底容器，其内侧壁是由曲线

x = φ (y) (y \geq 0)

绕

y

轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以

3 m^{3} / \min

的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以

π m^{2} / \min

的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据

t

时刻液面的面积，写出

t

与

φ (y)

之间的关系式；
（2）求曲线

x = φ (y)

的方程. (注: m 表示长度单位米，

min

表示时间单位分.)

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20. 设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续，在开区间

(a, b)

内可导，且

f^{'} (x) > 0

. 若极限

lim_{x \to a^{+}} \frac{f (2 x - a)}{x - a}

存在，证明:
(1) 在

(a, b)

内

f (x) > 0

；
(2) 在

(a, b)

内存在点

ξ

，使

\frac{b^{2} - a^{2}}{\int_{a}^{b} f (x) d x} = \frac{2 ξ}{f (ξ)}

；
(3) 在

(a, b)

内存在与 (2) 中

ξ

相异的点

η

，使

f^{'} (η) (b^{2} - a^{2}) = \frac{2 ξ}{ξ - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

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21. 若矩阵

A = (\begin{array}{lll} 2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6 \end{array})

相似于对角阵

Λ

，试确定常数

a

的值；并求可逆矩阵

P

使

P^{- 1} A P = Λ

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22. 已知平面上三条不同直线的方程分别为

\begin{matrix} l_{1} : a x + 2 b y + 3 c = 0, \\ l_{2} : b x + 2 c y + 3 a = 0, \\ l_{3} : c x + 2 a y + 3 b = 0 . \end{matrix}

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为

a + b + c = 0

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