单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3$ ， $f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，则
$\text{A.}$ $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=3 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$
$\text{B.}$ 曲面 $z=f(x, y)$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的法向量为 $(3,1,1)$
$\text{C.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(1,0,3)$
$\text{D.}$ 曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \\ y=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0, f(0,0))$ 处的切向量为 $(3,0,1)$
设 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导的充要条件为
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos h)}{h^2}$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(1-\mathrm{e}^h\right)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(h-\sin h)}{h^2}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2 h)-f(h)}{h}$ 存在
设 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{llll}4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A$ 与 $B$
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似.
$\text{C.}$ 不合同但相似
$\text{D.}$ 不合同且不相似.
将一枚硬币重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
设 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} r)\right|_{(1,-2,2)}=$
换二次积分的积分次序:
$$
\int_{-1}^0 \mathrm{~d} y \int_2^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=
$$
设矩阵 $A$ 满足 $A^2+A-4 E=O$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $(A-E)^{-1}=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的方差是 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计
$$
P\{|X-E(X)| \geq 2\} \leq
$$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求 $\int \frac{\arctan \mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微,且 $f(1,1)=1$ ， $f_x^{\prime}(1,1)=2 ， f_y^{\prime}(1,1)=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x))$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \varphi^3(x)\right|_{x=1}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+x^2}{x} \arctan x, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ ，将 $f(x)$ 展开成 $x$的幂级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1-4 n^2}$ 的和.
计算曲线积分
$$
I=\oint_L\left(y^2-z^2\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^2-x^2\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^2-y^2\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是平面 $x+y+z=2$ 与柱面 $|x|+|y|=1$ 的交线，从 $Z$ 轴正向看去， $L$ 为逆时针方向.
设 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内具有二阶连续导数且 $f^{\prime \prime}(x) \ne 0$ ，试证: (1) 对 $(-1,1)$ 内的任一 $x \neq 0$ ，存在惟一的 $\theta(x) \in(0,1)$ ，使得 $f(x)=f(0)+x f^{\prime}(\theta(x) x)$ 成立；
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \theta(x)=\frac{1}{2}$.
设有一高度为 $h(t)$ ( $t$ 为时间)的雪堆在融化过程，其侧面满足方程 $z=h(t)-\frac{2\left(x^2+y^2\right)}{h(t)}$. 设长度单位为厘米，时间单位为小时. 已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为 0.9 )，问高度为 130 (厘米)的雪堆全部融化需多少小时?
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{gathered}
\beta_1=t_1 \alpha_1+t_2 \alpha_2, \beta_2=t_1 \alpha_2+t_2 \alpha_3, \cdots, \\
\beta_s=t_1 \alpha_s+t_2 \alpha_1,
\end{gathered}
$$
其中 $t_1, t_2$ 为实常数. 试问 $t_1, t_2$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$也为 $A x=0$ 的一个基础解系.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与三维向量 $x$ ，使得向量组 $x, A x, A^2 x$线性无关，且满足 $A^3 x=3 A x-2 A^2 x$.
(1) 记 $P=\left(x, A x, A^2 x\right)$ ，求 3 阶矩阵 $B$ ，使 $A=P B P^{-1}$ ；
(2) 计算行列式 $\mid A+E$.
设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，且中途下车与否相互独立. 以 $\boldsymbol{Y}$ 表示在中途下车的人数，求:
(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率;
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ ，其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$ ，求统计量 $Y=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$的数学期望 $E(Y)$.