判断题 （共 5 题 ）
若极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) g(x)$ 都存在，则极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$ 必存在. （填写正确或错误）
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $x_0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0 $
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
等式 $\int_0^a f(x) \mathrm{d} x=-\int_0^a f(a-x) \mathrm{d} x$ ，对任何实数 $a$都成立.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶非零方阵，且 $A B=0$ ，则 $A$ 的秩必小于 $n$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若事件 $A, B, C$ 满足等式 $A \cup C=B \cup C$ ，则 $A=B$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知函数 $f(x)=\int_0^x e^{-\frac{1}{2} t^2} \mathrm{~d} t,-\infty < x < \infty$.
(1) $f^{\prime}(x)=$
(2) $f(x)$ 的单调性:
(3) $f(x)$ 的奇偶性:
(4) $f(x)$ 图形的拐点:
(5) $f(x)$ 图形的凹凸性:
(6) $f(x)$ 图形的水平渐近线:
$\left|\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$
$\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]^{-1}=$
假设 $P(A)=0.4, P(A \cup B)=0.7$ ，那么
(1) 若 $A$ 与 $B$ 互不相容，则 $P(B)=$
(2) 若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(B)=$
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
确定常数 $a$ 和 $b$ ，使函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}a x+b, x>1 \\ x^2, x \leq 1\end{array}\right.$ ，处处有导.
求下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^x-1}{x \ln x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 1}\left(1-x^2\right) \tan \frac{\pi}{2} x$.
求 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ ，其中函数 $u$ 由下列等式确定:
(1) $u+e^u=x y$;
(2) $u=e^{\frac{x}{y}}$
求定积分 $\int_0^3 \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}(1+x)}$.
求二重积分 $\int_0^{\frac{\pi}{6}} \mathrm{~d} y \int_y^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos x}{x} \mathrm{~d} x$.
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)!}{n^{n+1}}$ 的敛散性.
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2$ 都收敛，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$绝对收敛.
已知某商品的需求量 $D$ 和供给量 $S$ 都是价格 $p$ 的函数:
$$
D=D(p)=\frac{a}{p^2}, S=S(p)=b p ，
$$
其中 $a>0$ 和 $b>0$ 是常数. 价格 $p$ 是时间 $t$ 的函数，且满足方程 $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=k[D(p)-S(p)],(k$ 是常数 $)$ ，假设当 $t=0$ 时价格为 1 . 试求:
(1) 需求量等于供给量时的均衡价格 $P_e$;
(2) 价格函数 $p(t)$ ；
(3) 极限 $\lim _{t \rightarrow \infty} p(t)$.
在曲线 $y=x^2(x \geq 0)$ 上某点 $A$ 处作一切线，使之与曲线以及 $x$ 轴所围图形的面积为 $\frac{1}{12}$ ，试求:
(1) 切点 $A$ 的坐标;
(2) 过切点 $A$ 的切线方程;
(3) 由上述所围平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成旋转体的体积.
已给线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_3+3 x_4=1 \\ x_1+3 x_2+6 x_3+x_4=3 \\ 3 x_1-x_2-k_1 x_3+15 x_4=3 \\ x_1-5 x_2-10 x_3+12 x_4=k_2\end{array}\right.$ ，问 $k_1$和 $k_2$ 各取何值时，方程组无解? 有唯一解? 有无穷解? 在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s(s \geq 2)$ 线性无关，设
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \cdots, \\
& \quad \beta_{s-1}=\alpha_{s-1}+\alpha_s, \beta_s=\alpha_s+\alpha_1
\end{aligned}
$$
讨论向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 的线性相关性.
设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶方阵， $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|A|=\frac{1}{2}$ ，求行列式 $\left|(3 A)^{-1}-2 A^*\right|$ 的值.
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足矩阵方程 $A^2-3 A-2 E=0$ ，其中 $\boldsymbol{A}$ 给定，而 $E$ 是单位矩阵. 证明 $A$ 可逆，并求出其逆矩阵 $A^{-1}$.
假设有 10 只同种电器元件，其中有两只废品. 装配仪器时要从这批元件中任取一只，如是废品，则重新任取一只；若仍是废品，则再取一只. 试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.
玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 $0,1,2$ 只残次品的概率是 $0.8,0.1$ 和 0.1 , 一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察 4 只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回. 试求:
(1) 顾客买下该箱的概率 $\alpha$;
(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 $\boldsymbol{\beta}$.
某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 $20 \%$ ，以 $X$ 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(1) 写出 $X$ 的概率分布;
(2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.
假设随机变量 $X$ 在区间 $(1,2)$ 上服从均匀分布. 试求随机变 $Y=e^{2 x}$ 的概率密度 $f(y)$.