单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
下列函数在定义域内连续的是
$\text{A.}$ $f(x)=\ln x+\sin x$
$\text{B.}$ $f(x)= \begin{cases}\sin x, & x \leq 0 \\ \cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(x)= \begin{cases}x+1, & x < 0 \\ 0, & x=0 \\ x-1, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{|x|}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导， $x_1, x_2$ 是区间内任意两点，且 $x_1 < x_2$ ，则至少存在一点 $\xi$ ，使得
$\text{A.}$ $f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), a < \xi < b$
$\text{B.}$ $f(b)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(b-x_1\right), x_1 < \xi < b$
$\text{C.}$ $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right), x_1 < \xi < x_2$
$\text{D.}$ $f\left(x_2\right)-f(a)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-a\right), a < \xi < x_2$
下列广义积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln x}$
$\text{C.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^2}$
$\text{D.}$ $\int_e^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{\ln x}}$
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其秩 $r < n$ ，那么在 $A$ 的 $n$ 个行向量中
$\text{A.}$ 必有 $r$ 个行向量线性无关
$\text{B.}$ 任意 $r$ 个行向量线性无关
$\text{C.}$ 任意 $r$ 个行向量都构成极大线性无关向量组
$\text{D.}$ 任意一个行向量都可以由其他 $r$ 个行向量线性表示
若两事件 $A, B$ 同时出现的概率 $P(A B)=0$ ，则
$\text{A.}$ $A, B$ 互不相容(互斥)
$\text{B.}$ $A B$ 是不可能事件
$\text{C.}$ $A B$ 未必是不可能事件
$\text{D.}$ $P(A)=0$ 或 $P(B)=0$
对于任何两事件 $A, B$ ，有 $P(A-B)=$
$\text{A.}$ $P(A)-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A)-P(B)+P(A B)$
$\text{C.}$ $P(A)-P(A B)$
$\text{D.}$ $P(A)-P(\bar{B})-P(A \bar{B})$
判断题 （共 3 题 ）
$\lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x}}=\infty$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
$\int_{-\pi}^\pi x^4 \sin x \mathrm{~d} x=0$
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+b_n\right)$ 必发散
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
假设 $D$ 是矩阵 $A$ 的 $r$ 阶子式，且含 $D$ 的一切 $r+1$ 阶子式都等于 0 ，那么矩阵 $A$ 的一切 $r+1$ 阶子式都等于 0 .
若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内严格单增, 则对区间 $(a, b)$ 内任何一点 $x$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$.
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵， $k$ 为常数，而 $|A|,|k A|$ 分别为 $A, k A$的行列式，则 $|k A|=k|A|$.
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
(1) 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x e^x\right)^{\frac{1}{x}}$.
(2) 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\operatorname{arc} \cot x}$
已知 $y=\ln \frac{\sqrt{1+x^2-1}}{\sqrt{1+x^2}+1}$ ，求 $y^{\prime}$.
已知 $z=\arctan \frac{x+y}{x-y}$ ，求 $\mathrm{d} z$.
(1) 求不定积分 $\int e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(2) 计算定积分 $\int_{\frac{1}{2}}^1 e^{\sqrt{2 x-1}} \mathrm{~d} x$.
(3) 计算不定积分 $\int \frac{x \mathrm{~d} x}{x^4+2 x^2+5}$
将函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3 x+2}$ 展开成幂级数，并指出其收敛区间.
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中由 $y=x, y=x^3$ 围成的封闭区域.
(1) 已知某商品的需求量 $x$ 对价格 $p$ 的弹性为 $\eta=-3 p^3$ ，而市场对商品的最大需求量为 1 (万件)，求需求函数.
(2) 设某产品的总成本函数为 $C(x)=400+3 x+\frac{1}{2} x^2$ ，而需求函数为 $p=\frac{100}{\sqrt{x}}$ ，其中 $x$ 为产量(假定等于需求量)， $p$ 为价格. 试求:
(a) 边际成本;
(b) 边际收益;
(c) 边际利润;
(d)收益的价格弹性.
解线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x_1-x_2+4 x_3-3 x_4=-4, \\ x_1+x_3-x_4=-3, \\ 3 x_1+x_2+x_3=1, \\ 7 x_1+7 x_3-3 x_4=3 .\end{array}\right.$
设矩阵 $A, B$ 满足 $A B=A+2 B$ ，求矩阵 $B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 3
\end{array}\right)
$$
求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 的实特征值及对应的特征向量.
(1) 已知随机变量 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=0.2, P(X=2)=0.3, P(X=3)=0.5
$$
试写出 $X$ 的分布函数 $F(x)$.
(2) 求 $X$ 的数学期望与方差.
(3) 已知随机变量 $\boldsymbol{Y}$ 的概率密度为
$$
f(y)= \begin{cases}\frac{y}{a^2} e^{-\frac{y^2}{2 a^2}} & y \geq 0 \\ 0 & y < 0\end{cases}
$$
求随机变量 $Z=\frac{1}{Y}$ 的数学期望 $E(Z)$.
设有两箱同种零件，第一箱内装 50 件，其中 10 件一等品;第二箱内装有 30 件，其中 18 件一等品. 现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求:
(1) 先取出的零件是一等品的概率 $p$;
(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率 $q$.