线性方程组综合练习及参考解答

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线性方程组综合练习及参考解答

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A

为 3 阶非零矩阵, 下列命题中, 是齐次线性方程组

A x = 0

有非零解的充分条件的个数为
(1) 非齐次线性方程组

A^{*} x = b

有唯一解.
(2) 非齐次线性方程组

A^{*} x = b

有无穷多解.
(3) 非齐次线性方程组

A A A^{⊤} x = b

有唯一解.
(4) 非齐次线性方程组

A A^{⊤} x = b

有无穷多解.

A.

B.

C.

D.

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2. 已知

α_{1} = (2, 1, 0)^{T}, α_{2} = (1, 0, - 1)^{T}

是方程组

{\begin{cases} a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} = b_{1}, \\ x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} = b_{2}, \\ 2 x_{1} - x_{2} - x_{3} = 3 \end{cases}

的两个解, 则该方程组的通解为

A.

k (1, 1, 1)^{T} + (2, 1, 0)^{T}

, 其中

k

为任意常数.

B.

k (- 1, 1, 1)^{T} + (2, 1, 0)^{T}

, 其中

k

为任意常数.

C.

k (1, - 1, 1)^{T} + (1, 0, - 1)^{T}

, 其中

k

为任意常数.

D.

k (1, 1, - 1)^{T} + (1, 0, - 1)^{T}

, 其中

k

为任意常数.

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3. 设矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4})

, 非齐次线性方程组

A x = b

的通解为

x = k_{1} (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + k_{2} (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) +

(\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{array})

, 其中

k_{1}, k_{2}

为任意常数, 则下列说法中, 错误的是

A.

b

必可由

α_{1}, α_{2}

线性表示.

B.

b

必可由

α_{2}, α_{3}

线性表示.

C.

b

必可由

α_{1}, α_{3}, α_{4}

线性表示.

D.

b

必可由

α_{2}, α_{3}, α_{4}

线性表示.

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二、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

4. 讨论

a

取什么值时，线性方程组

{\begin{cases} 3 a x_{1} + (2 a + 1) x_{2} + (a + 1) x_{3} = a \\ (2 a - 1) x_{1} + (2 a - 1) x_{2} + (a - 2) x_{3} = a + 1 \\ (4 a - 1) x_{1} + 3 a x_{2} + 2 a x_{3} = 1 \end{cases}

有解，并在有解时求出全部解.

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λ

取何值时，齐次线性方程组

{\begin{cases} (λ - 2) x_{1} - 3 x_{2} - 2 x_{3} = 0 \\ - x_{1} + (λ - 8) x_{2} - 2 x_{3} = 0 \\ 2 x_{1} + 14 x_{2} + (λ + 3) x_{3} = 0 . \end{cases}

有非零解? 并在有非零解时求出它的全部解.

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6. 线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 \\ a_{n - 1, 1} x_{1} + a_{n - 1, 2} x_{2} + \dots + a_{n - 1, n} x_{n} = 0 \end{cases}

的系数矩阵为

A = (\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n - 1, 1} & a_{n - 1, 2} & \dots & a_{n - 1, n} \end{array}) .

设

M_{j} (j = 1, 2, \dots, n)

是在矩阵

A

中划去第

j

列所得到的

n - 1

阶子式，试证：
(1)

(M_{1}, - M_{2}, \dots, (- 1)^{n - 1} M_{n})

是方程组的一个解；
（2）如果

A

的秩为

n - 1

，那么方程组的解全是

(M_{1}, - M_{2}, \dots, (- 1)^{n - 1} M_{n})

的倍数.

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