单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵, 下列命题中, 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充分条件的个数为
(1) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解.
(2) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
(3) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A A} \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解.
(4) 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A A ^ { \top } \boldsymbol { x }}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(2,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3=b_1, \\ x_1-2 x_2+x_3=b_2, \\ 2 x_1-x_2-x_3=3\end{array}\right.$ 的两个解, 则该方程组的通解为
$\text{A.}$ $k(1,1,1)^{\mathrm{T}}+(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{B.}$ $k(-1,1,1)^{\mathrm{T}}+(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{C.}$ $k(1,-1,1)^{\mathrm{T}}+(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
$\text{D.}$ $k(1,1,-1)^{\mathrm{T}}+(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$, 其中 $k$ 为任意常数.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$, 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的通解为 $\boldsymbol{x}=k_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right)+$ $\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$, 其中 $k_1, k_2$ 为任意常数, 则下列说法中, 错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性表示.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{b}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 线性表示.
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论 $a$ 取什么值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
3 a x_1+(2 a+1) x_2+(a+1) x_3=a \\
(2 a-1) x_1+(2 a-1) x_2+(a-2) x_3=a+1 \\
(4 a-1) x_1+3 a x_2+2 a x_3=1
\end{array}\right.
$$
有解，并在有解时求出全部解.
$\lambda$ 取何值时，齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
(\lambda-2) x_1-3 x_2-2 x_3=0 \\
-x_1+(\lambda-8) x_2-2 x_3=0 \\
2 x_1+14 x_2+(\lambda+3) x_3=0 .
\end{array}\right.
$$
有非零解? 并在有非零解时求出它的全部解.
线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\ldots+a_{1 n} x_n=0 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\ldots+a_{2 n} x_n=0 \\
a_{n-1,1} x_1+a_{n-1,2} x_2+\ldots+a_{n-1, n} x_n=0
\end{array}\right.
$$
的系数矩阵为
$$
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right) .
$$
设 $M_j(j=1,2, \cdots, n)$ 是在矩阵 $A$ 中划去第 $j$ 列所得到的 $n-1$ 阶子式，试证：
(1) $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $\boldsymbol{n}-1$ ，那么方程组的解全是 $\left(M_1,-M_2, \cdots,(-1)^{n-1} M_n\right)$ 的倍数.