2024年安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学试卷及答案

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2024年安徽省合肥市高三第二次教学质量检测数学试卷及答案

一、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 已知实数

x, y, z

, 满足

y + z - 2 = 0

, 则

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2} + z^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2}}

的最小值为

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

2. 如图, 在四棱椎

P - A B C D

中, 底面

A B C D

是边长为 2 的菱形,

∠ B A D = 60^{\circ}, M

是侧棱

P C

的中点, 侧面

P A D

为正三角形, 侧面

P A D ⊥

底面

A B C D

(1) 求三棱椎

M - A B C

的体积;
(2) 求

A M

与平面

P B C

所成角的正弦值.

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3. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F

, 左顶点为

A

, 短轴长为

2 \sqrt{3}

, 且经过点

(1, \frac{3}{2})

.
(1) 求椭圆

C

的方程;
(2) 过点

F

的直线

l

(不与

x

轴重合) 与

C

交于

P, Q

两点, 直线

A P, A Q

与直线

x = 4

的交点分别为

M, N

,记直线

M F, N F

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}

, 证明:

k_{1} \cdot k_{2}

为定值.

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4. 树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：

在按比例分配分层随机抽样中, 已知总体划分为 2 层, 把第一层样本记为

x_{1}, x_{2}, x_{3}, L, x_{n}

, 其平均数记为

\bar{x}

,方差记为

s_{1}^{2}

; 把第二层样本记为

y_{1}, y_{2}, y_{3}, L, y_{m}

, 其平均数记为

\bar{y}

, 方差记为

s_{2}^{2}

; 把总样本数据的平均数记为

\bar{z}

, 方差记为

s^{2}

.
(1) 证明:

s^{2} = \frac{1}{m + n} {n [s_{1}^{2} + (\bar{x} - \bar{z})^{2}] + m [s_{2}^{2} + (\bar{y} - \bar{z})^{2}]}

;
(2) 求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差 (精确到 1);
（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布

N (μ, σ^{2})

, 以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为

μ

和

σ

的估计值. 如果按照

16 %, 34 %, 34 %, 16 %

的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为

A, B, C, D

四个等级, 试确定各等级的分数线 (精确到 1 ).
附:

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68, \sqrt{302} \approx 17, \sqrt{322} \approx 18, \sqrt{352} \approx 19

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5. 已知曲线

C : f (x) = e^{x} - x e^{x}

在点

A (1, f (1))

处的切线为

l

.
(1) 求直线

l

的方程;
(2) 证明: 除点

A

外，曲线

C

在直线

l

的下方;
(3) 设

f (x_{1}) = f (x_{2}) = t, x_{1} \neq x_{2}

, 求证:

x_{1} + x_{2} < 2 t - \frac{t}{e} - 1

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6. 在数学中, 广义距离是泛函分析中最基本的概念之一. 对平面直角坐标系中两个点

P_{1} (x_{1}, y_{1})

和

P_{2} (x_{2}, y_{2})

,记

{| P_{1} P_{2} |}_{t} = max {\frac{| x_{1} - x_{2} |}{1 + | x_{1} - x_{2} |}, \frac{| y_{1} - y_{2} |}{1 + | y_{1} - y_{2} |}},

称

{| P_{1} P_{2} |}_{t}

为点

P_{1}

与点

P_{2}

之间的 “

t

-距离”, 其中

max {p, q}

表示

p, q

中较大者.
(1) 计算点

P (1, 2)

和点

Q (2, 4)

之间的 “

t

- 距离” ;
(2) 设

P_{0} (x_{0}, y_{0})

是平面中一定点,

r > 0

. 我们把平面上到点

P_{0}

的 “

t

-距离” 为

r

的所有点构成的集合叫做以点

P_{0}

为圆心, 以

r

为半径的 “

t

-圆” . 求以原点

O

为圆心, 以

\frac{1}{2}

为半径的 “

t

- 圆” 的面积;
(3) 证明: 对任意点

P_{1} (x_{1}, y_{1}), P_{2} (x_{2}, y_{2}), P_{3} (x_{3}, y_{3}), {| P_{1} P_{3} |}_{t} \leq {| P_{1} P_{2} |}_{t} + {| P_{2} P_{3} |}_{t}

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