在数学中, 广义距离是泛函分析中最基本的概念之一. 对平面直角坐标系中两个点 $P_1\left(x_1, y_1\right)$ 和 $P_2\left(x_2, y_2\right)$,记
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\left|P_1 P_2\right|_t=\max \left\{\frac{\left|x_1-x_2\right|}{1+\left|x_1-x_2\right|}, \frac{\left|y_1-y_2\right|}{1+\left|y_1-y_2\right|}\right\},
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称 $\left|P_1 P_2\right|_t$ 为点 $P_1$ 与点 $P_2$ 之间的 “ $t$-距离”, 其中 $\max \{p, q\}$ 表示 $p, q$ 中较大者.
(1) 计算点 $P(1,2)$ 和点 $Q(2,4)$ 之间的 “ $t$ - 距离” ;
(2) 设 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 是平面中一定点, $r>0$. 我们把平面上到点 $P_0$ 的 “ $t$-距离” 为 $r$ 的所有点构成的集合叫做以点 $P_0$ 为圆心, 以 $r$ 为半径的 “ $t$-圆” . 求以原点 $O$ 为圆心, 以 $\frac{1}{2}$ 为半径的 “ $t$ - 圆” 的面积;
(3) 证明: 对任意点 $P_1\left(x_1, y_1\right), P_2\left(x_2, y_2\right), P_3\left(x_3, y_3\right),\left|P_1 P_3\right|_t \leq\left|P_1 P_2\right|_t+\left|P_2 P_3\right|_t$.