已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点为 $F$, 左顶点为 $A$, 短轴长为 $2 \sqrt{3}$, 且经过点 $\left(1, \frac{3}{2}\right)$.
(1) 求椭圆 $C$ 的方程;
(2) 过点 $F$ 的直线 $l$ (不与 $x$ 轴重合) 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 与直线 $x=4$ 的交点分别为 $M, N$,记直线 $M F, N F$ 的斜率分别为 $k_1, k_2$, 证明: $k_1 \cdot k_2$ 为定值.