单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知全集 $U=\{-1,0,1,2,3\}$, 集合 $A=\{0,1,2\}, B=\{-1,0,1\}$, 则 $\mid C_{U} A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{-1\}$
$\text{B.}$ $\{0,1\}$
$\text{C.}$ $\{-1,2,3\}$
$\text{D.}$ $\{-1,0,1,3\}$
渐近线方程为 $x \pm y=0$ 的双曲线的离心率是
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
若实数$x,y$满足约束条件
$$
\left\{\begin{array}{l}
x-3 y+4 \geq 0 \\
3 x-y-4 \leq 0 \\
x+y \geq 0
\end{array}\right.
$$
, 则 $ z=3 x+2 y $ 最大值是
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 10
$\text{D.}$ 12
祖晅是我国南北朝时代的伟大科学家. 他提出的 “幂势既同, 则积不容易” 称为祖㫜原理, 利用该原理可以得到柱体体积公式 $V$ 梇伡 $=S h$, 其中 $S$ 是柱体的底面积, $h$ 是柱体的高. 若某 柱体的三视图如图所示, 则该柱体的体积是
$\text{A.}$ 158
$\text{B.}$ 162
$\text{C.}$ 182
$\text{D.}$ 32
若 $a>0, b>0$, 则 “ $a+b \leqslant 4$ ” 是 “ $a b \leqslant 4$ ” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
在同一直角坐标系中, 函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right),(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图像可能是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
设 $0 < a < 1$, 则随机变量 $X$ 的分布列是
则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时
$\text{A.}$ $D(X)$ 增大
$\text{B.}$ $D(X)$ 减小
$\text{C.}$ $D(X)$ 先增大后减小
$\text{D.}$ $D(X)$ 先减小后增大
设三棱雉 $V-A B C$ 的底面是正三角形, 侧棱长均相等, $P$ 是棱 $V A$ 上的点 (不含端点), 记直 线 $P B$ 与直线 $A C$ 所成角为 $\alpha$, 直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $\beta$, 二面角 $P-A C-B$ 的平面角 为 $\gamma$, 则
$\text{A.}$ $\beta < \gamma, \quad \alpha < \gamma$
$\text{B.}$ $\beta < \alpha, \beta < \gamma$
$\text{C.}$ $\beta < \alpha, \gamma < \alpha$
$\text{D.}$ $\alpha < \beta, \gamma < \beta$
已知 $a, b \in \mathbf{R}$, 函数 $
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x, x < 0 \\
\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2}(a+1) x^{2}+a x, x \geq 0
\end{array}\right.
$ 若函数 $ y=f(x)-a x-b $ 恰有三个零点, 则
$\text{A.}$ $a < -1, b < 0$
$\text{B.}$ $a < -1, b>0$
$\text{C.}$ $a>-1, b>0$
$\text{D.}$ $a>-1, b < 0$
设 $a, b \in \mathbf{R}$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中 $a_{n}=a, a_{n+1}=a_{n}^{2}+b, b \in \mathbf{N}^{*}$, 则
$\text{A.}$ 当 $b=, a_{10}>10$
$\text{B.}$ 当 $b=, a_{10}>10$
$\text{C.}$ 当 $b=-2, a_{10}>10$
$\text{D.}$ 当 $b=-4, a_{10}>10$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
复数 $z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}$ (为虚数单位), 则 $|z|=$
已知圆 $C$ 的圆心坐标是 $(0, m)$, 半径长是r.若直线 $2 x-y+3=0$ 与圆相切于点 $A(-2,-1)$,
则 $m=$ （ ）, $r=$ （ ）
在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中, 常数项是 （ ） , 系数为有理数的项的个数是 （ ）
在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, A B=4, B C=3$, 点 $D$ 在线段 $A C$ 上, 若 $\angle B D C=45^{\circ}$, 则 $B D=$ , $\cos \angle A B D=$
已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 的左焦点为 $F$, 点 $P$ 在椭圆上且在轴的上方, 若线段 $P F$ 的中点在 以原点 $O$ 为圆心, $|O F|$ 为半径的圆上, 则直线 $P F$ 的斜率是
已知 $a \in \mathbf{R}$, 函数 $f(x)=a x^{3}-x$, 若存在 $t \in \mathbf{R}$, 使得 $|f(t+2)-f(t)| \leq \frac{2}{3}$, 则实数的 最大值是
已知正方形 $A B C D$ 的边长为 1 . 当每个 $\lambda_{i}(i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时,
$$
\left|\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{B C}+\lambda_{3} \overrightarrow{C D}+\lambda_{4} \overrightarrow{D A}+\lambda_{5} \overrightarrow{A C}+\lambda_{6} \overrightarrow{B D}\right|
$$ 的最小值是 （ ） , 最大值是 （ ）
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\sin x, x \in \mathbf{R}$.
(1) 已知 $\theta \in[0,2 \pi)$, 函数 $f(x+\theta)$ 是偶函数, 求的值;
(2) 求函数 $y=\left[f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)\right]^{2}+\left[f\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{2}$ 的值域.
如图, 已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$, 平面 $A_{1} A C C_{1} C \perp$ 平面 $A B C, \angle A B C=90^{\circ}, \angle B A C=30^{\circ}, A_{1} A=A_{1} C=A C, E, F$ 分别是 $A C, A_{1} B_{1}$ 的中点.
(1) 证明: $E F \perp B C$;
(2) 求直线 $E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的余弦值.
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足:
对每个 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列.
(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$, 证明: $C_{1}+C_{2}+\mathrm{L}+C_{n} < 2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$.
如图, 己知点 $F(1,0)$ 为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$, 点 $F$ 为焦点, 过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A 、 B$ 两点, 点 $C$ 在抛物线上, 使得 $\triangle A B C$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上, 直 线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $Q$, 且 $Q$ 在点 $F$ 右侧. 记 $\triangle A F G, \triangle C Q G$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$.
(1) 求 $p$ 的值及抛物线的标准方程;
(2) 求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.
已知实数 $a \neq 0$, 设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{x+1}, x>0$.
（1）当 $a=-\frac{3}{4}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$, 求的取值范围.
注: $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数.