题号:1494    题型:填空题    来源:2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
已知实数 $a \neq 0$, 设函数 $f(x)=a \ln x+\sqrt{x+1}, x > 0$.
(1)当 $a=-\frac{3}{4}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$ 均有 $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$, 求的取值范围.
注: $\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数.
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答案:
(I) 当 $a=-\frac{3}{4}$ 时, $f(x)=-\frac{3}{4} \ln x+\sqrt{1+x}, x > 0$.
$$
f^{\prime}(x)=-\frac{3}{4 x}+\frac{1}{2 \sqrt{1+x}}=\frac{(\sqrt{1+x}-2)(2 \sqrt{1+x}+1)}{4 x \sqrt{1+x}},
$$
所以, 函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,3)$, 单调递增区间为 $(3,+\infty)$.
(II) 由 $f(1) \leq \frac{1}{2 a}$, 得 $0 < a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$.
当 $0 < a \leq \frac{\sqrt{2}}{4}$ 时, $f(x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a}$ 等价于 $\frac{\sqrt{x}}{a^{2}}-\frac{2 \sqrt{1+x}}{a}-2 \ln x \geq 0$.
令 $t=\frac{1}{a}$, 则 $t \geq 2 \sqrt{2}$.
设 $g(t)=t^{2} \sqrt{x}-2 t \sqrt{1+x}-2 \ln x, t \geq 2 \sqrt{2}$, 则
$g(t) \geq g(2 \sqrt{2})=8 \sqrt{x}-4 \sqrt{2} \sqrt{1+x}-2 \ln x .$
(i)当 $x \in\left[\frac{1}{7},+\infty\right)$ 时, $\sqrt{1+\frac{1}{x}} \leq 2 \sqrt{2}$, 则
$$
g(t) \geq g(2 \sqrt{2})=8 \sqrt{x}-4 \sqrt{2} \sqrt{1+x}-2 \ln x .
$$
记 $p(x)=4 \sqrt{x}-2 \sqrt{2} \sqrt{1+x}-\ln x, x \geq \frac{1}{7}$, 则
$$
p^{\prime}(x)=\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}-\frac{1}{x}=\frac{2 \sqrt{x} \sqrt{x+1}-\sqrt{2} x-\sqrt{x+1}}{x \sqrt{x+1}} .
$$


所以, $p(x) \geq p(1)=0$.
因此, $g(t) \geq g(2 \sqrt{2})=2 p(x) \geq 0$.
(ii)当 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}, \frac{1}{7}\right)$ 时, $g(t) . . g\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)=\frac{-2 \sqrt{x} \ln x-(x+1)}{2 \sqrt{x}}$. 令 $q(x)=2 \sqrt{x} \ln x+(x+1), x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}, \frac{1}{7}\right]$, 则 $q^{\prime}(x)=\frac{\ln x+2}{\sqrt{x}}+1 > 0$, 故 $q(x)$ 在 $\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}}, \frac{1}{7}\right]$ 上单调递增, 所以 $q(x), q\left(\frac{1}{7}\right)$.
由(i)得 $q\left(\frac{1}{7}\right)=-\frac{2 \sqrt{7}}{7} p\left(\frac{1}{7}\right) < -\frac{2 \sqrt{7}}{7} p(1)=0$.
所以, $q(x) < 0$.
因此 $g(t) . . g\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)=-\frac{q(x)}{2 \sqrt{x}} > 0$.

由(i)(ii)得对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right), t \in[2 \sqrt{2},+\infty), g(t) \ldots 0$,
即对任意 $x \in\left[\frac{1}{\mathrm{e}^{2}},+\infty\right)$, 均有 $f(x), \frac{\sqrt{x}}{2 a}$.
综上所述, 所求 $a$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{4}\right]$.
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