题号:1492    题型:填空题    来源:2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3}=4, a_{4}=S_{3}$, 数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足:
对每个 $n \in \mathbf{N}^{*}, S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列.
(1) 求数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式;
(2) 记 $C_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in \mathbf{N}^{*}$, 证明: $C_{1}+C_{2}+\mathrm{L}+C_{n} < 2 \sqrt{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$.
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答案:
(I) 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 由题意得
$$
a_{1}+2 d=4, a_{1}+3 d=3 a_{1}+3 d,
$$
解得 $a_{1}=0, d=2$.
从而 $a_{n}=2 n-2, n \in \mathbf{N}^{*}$.
由 $S_{n}+b_{n}, S_{n+1}+b_{n}, S_{n+2}+b_{n}$ 成等比数列得
$$
\left(S_{n+1}+b_{n}\right)^{2}=\left(S_{n}+b_{n}\right)\left(S_{n+2}+b_{n}\right) .
$$
解得 $b_{n}=\frac{1}{d}\left(S_{n+1}^{2}-S_{n} S_{n+2}\right)$.
所以 $b_{n}=n^{2}+n, n \in \mathbf{N}^{*}$.

(II) $c_{n}=\sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}=\sqrt{\frac{2 n-2}{2 n(n+1)}}=\sqrt{\frac{n-1}{n(n+1)}}, n \in \mathbf{N}^{*}$.
我们用数学归纳法证明.
(1) 当 $n=1$ 时, $c_{1}=0 < 2$, 不等式成立;
(2)假设 $n=k\left(k \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时不等式成立, 即 $c_{1}+c_{2}+\mathrm{L}+c_{h} < 2 \sqrt{k}$.
那么, 当 $n=k+1$ 时,
$$
\begin{aligned}
&c_{1}+c_{2}+\mathrm{L}+c_{k}+c_{k+1} < 2 \sqrt{k}+\sqrt{\frac{k}{(k+1)(k+2)}} < 2 \sqrt{k}+\sqrt{\frac{1}{k+1}} \\
& < 2 \sqrt{k}+\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2 \sqrt{k}+2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=2 \sqrt{k+1} .
\end{aligned}
$$
即当 $n=k+1$ 时不等式也成立.
根据 (1) 和 (2) , 不等式 $c_{1}+c_{2}+\mathrm{L}+c_{n} < 2 \sqrt{n}$ 对任意 $n \in \mathbf{N}^{*}$ 成立.
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