单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 1\}, B=\left\{x \mid y=\lg \left(2^x-1\right)\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 1\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 1\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 0\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 0 < x \leqslant 1\}$
已知复数 $z=\frac{4}{1-\mathrm{i}}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $\bar{z}=$
$\text{A.}$ $2+2 i$
$\text{B.}$ $2-2 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-2-2 \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-2+2 \mathrm{i}$
已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,1), \boldsymbol{b}=(m, 2)$, 且 $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
曲线 $f(x)=\mathrm{e}^x+a x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与直线 $y=2 x$ 平行, 则 $a=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
函数 $f(x)=\frac{x\left(\mathrm{e}^{\sin x}-\mathrm{e}^{-\sin x}\right)}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$ 的图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
若 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right), 6 \tan \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+4 \cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=5 \cos 2 \alpha$, 则 $\sin 2 \alpha=$
$\text{A.}$ $\frac{24}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{12}{25}$
$\text{C.}$ $\frac{7}{25}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
《易・系辞上》有 “河出图, 洛出书”之说, 河图、洛书是中华文化, 阴阳术数之源, 其中河图排列结构是一、六在后, 二、七在前, 三、八在左, 四、九在右, 五、十背中. 如图, 白点为阳数, 黑点为阴数.若从这 10 个数中任取 3 个数, 已知 3 个数中至多有 1 个阴数, 则取出的 3 个数之和是 5 的倍数的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知圆柱的底面半径为 1 , 高为 $2, A B, C D$ 分别为上、下底面圆的直径, 四面体 $A B C D$ 的体积为 $\frac{4}{3}$,则直线 $A C$ 与 $B D$ 所成角的余弦值为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知 $a>b>0$, 则
$\text{A.}$ $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$
$\text{B.}$ $2^a>2^b>1$
$\text{C.}$ $a^{\frac{1}{3}} < b^{\frac{1}{3}}$
$\text{D.}$ $\log _a 2 < \log _b 2$
已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$, 且 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 上单调递增, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 的图象关于 $(1,0)$ 中心对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 是周期函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上单调递减
$\text{D.}$ $\sum_{k=0}^{2024} f(k)=1$
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=f\left(a_n\right)$, 其中 $f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^x-1\right)-\ln x$, 则
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 为单调递减数列
$\text{B.}$ $a_{2023} < a_{2024}$
$\text{C.}$ $a_{n+1}>\frac{1}{2} a_n$
$\text{D.}$ $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \geqslant 1-\frac{1}{2^n}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
请写出一个焦点在 $y$ 轴上,焦距为 4 的椭圆的标准方程
动点 $P$ 与两个定点 $O(0,0), A(0,3)$ 满足 $|P A|=2|P O|$, 则点 $P$ 到直线 $l: m x-y+4-3 m=0$ 的距离的最大值为
函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上有且只有两个零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴, 从收获的果实中随机抽取了 50 个软籽石榴,按质量(单位: $\mathrm{g}$ ) 将它们分成 5 组: $[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),[440,460]$,得到如下频率分布直方图.
(1) 用样本估计总体, 求该品种石榴的平均质量; (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2) 按分层随机抽样, 在样本中, 从质量在区间 $[380,400),[400,420),[420,440)$ 内的石榴中抽取 7 个石榴进行检测, 再从中抽取 3 个石榴作进一步检测. 记这 3 个石榴中质量在区间 $[420,440)$ 内的个数为 $X$, 求 $X$ 的分布列与数学期望.
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $\left\{\frac{S_n}{n(n+1)}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 令 $b_n=\frac{(2 n-1) a_n}{S_n}, T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 证明: $\sum_{i=1}^n T_i \leqslant \frac{6^n-1}{5}$.
如图, 在四棱椎 $P-A B C D$ 中, 平面 $P C D \perp$ 平面 $A B C D, A B / / C D, A B \perp B C, P D=A B=2 C D$ $=2, B C=\sqrt{2}, \angle P D C=120^{\circ}$.
(1) 证明: $P B \perp A D$;
(2) 点 $E$ 在线段 $P C$ 上, 当直线 $A E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 时, 求平面 $A B E$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.
已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点 $F$ 到其渐近线的距离为 $\sqrt{3}$, 点 $A(1,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的标准方程;
(2) 若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ (不与点 $A$ 重合) 两点, 记直线 $A M, A N, l$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k$, 且 $k k_1$ $+k k_2=-6$, 是否存在 $k$ 值, 使得 $|F M|=|F N|$. 若存在, 求出 $k$ 的值和直线 $l$ 的方程; 若不存在,请说明理由.
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义, 且对于任意不同的 $x_1, x_2 \in[a, b]$, 都有 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < k\left|x_1-x_2\right|$, 则称 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”.
(1) 若 $f(x)=\frac{x^2}{2}+x$, 判断 $f(x)$ 是否为 $[1,2]$ 上的 “ 3 类函数”;
(2) 若 $f(x)=a(x-1) \mathrm{e}^x-\frac{x^2}{2}-x \ln x$ 为 $[1, \mathrm{e}]$ 上的 “ 2 类函数”, 求实数 $a$ 的取值范围;
(3) 若 $f(x)$ 为 $[1,2]$ 上的 “ 2 类函数”, 且 $f(1)=f(2)$, 证明: $\forall x_1, x_2 \in[1,2]$, $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < 1$.