已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=f\left(a_n\right)$, 其中 $f(x)=\ln \left(\mathrm{e}^x-1\right)-\ln x$, 则
$\text{A.}$ $\left\{a_n\right\}$ 为单调递减数列
$\text{B.}$ $a_{2023} < a_{2024}$
$\text{C.}$ $a_{n+1}>\frac{1}{2} a_n$
$\text{D.}$ $a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \geqslant 1-\frac{1}{2^n}$