若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义, 且对于任意不同的 $x_1, x_2 \in[a, b]$, 都有 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < k\left|x_1-x_2\right|$, 则称 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”.
(1) 若 $f(x)=\frac{x^2}{2}+x$, 判断 $f(x)$ 是否为 $[1,2]$ 上的 “ 3 类函数”;
(2) 若 $f(x)=a(x-1) \mathrm{e}^x-\frac{x^2}{2}-x \ln x$ 为 $[1, \mathrm{e}]$ 上的 “ 2 类函数”, 求实数 $a$ 的取值范围;
(3) 若 $f(x)$ 为 $[1,2]$ 上的 “ 2 类函数”, 且 $f(1)=f(2)$, 证明: $\forall x_1, x_2 \in[1,2]$, $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right| < 1$.