设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $\left\{\frac{S_n}{n(n+1)}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$ 、公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式;
(2) 令 $b_n=\frac{(2 n-1) a_n}{S_n}, T_n$ 为数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项积, 证明: $\sum_{i=1}^n T_i \leqslant \frac{6^n-1}{5}$.