已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点 $F$ 到其渐近线的距离为 $\sqrt{3}$, 点 $A(1,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的标准方程;
(2) 若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ (不与点 $A$ 重合) 两点, 记直线 $A M, A N, l$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k$, 且 $k k_1$ $+k k_2=-6$, 是否存在 $k$ 值, 使得 $|F M|=|F N|$. 若存在, 求出 $k$ 的值和直线 $l$ 的方程; 若不存在,请说明理由.