抛物线 $y=\frac{1}{2} x^2$ 的焦点坐标为

在等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 中, $a_1+a_x=82, a_3 a_{x-2}=81$, 且前 $x$ 项和 $S_x=121, x=$

已知 $m, n$ 表示两条不同直线, $\alpha$ 表示平面, 则

有 5 辆车停放 6 个并排车位, 货车甲车体较宽, 停靠时需要占两个车位, 并且乙车不与货车甲相邻停放,则共有 ________ 种停放方法

已知 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的中点为 $D$, 点 $E$ 在 $\triangle A B C$ 所在平面内, 且 $\overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{C E}-2 \overrightarrow{C A}$, 若 $\overrightarrow{A C}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{B E}$, 则 $x+y=$

函数 $y=f(x)$ 的图象为椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) x$ 轴上方的部分, 若 $f(s-t), f(s), f(s+t)$ 成等比数列, 则点 $(s, t)$ 的轨迹是

已知 $x \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right], \sin x+\cos x=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$, 则 $\tan \left(x-\frac{3 \pi}{4}\right)=$.

双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_1, F_2$, 离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$, 点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点, 过 $F_2$ 作 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线的垂线, 垂足是 $M,|M O|=\sqrt{2}$, 若 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T} \cdot \overrightarrow{F_2 T}=5$, 则 $T$ 到 $C$ 的两条渐近线距离之和为

已知复数 $z_1, z_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+b x+1=0(-2 < b < 2, b \in \mathrm{R})$ 的两根, 则

若函数 $f(x)=2 \sin ^2 x \cdot \log _2 \sin x+2 \cos ^2 x \cdot \log _2 \cos x$ ，则

设 $a$ 为常数, $f(0)=\frac{1}{2}, f(x+y)=f(x) f(a-y)+f(y) f(a-x)$, 则

集合 $A=\left\{x \in \mathrm{R} \mid a x^2-3 x+2=0, a \in \mathrm{R}\right\}$, 若 $A$ 中元素至多有 1 个, 则 $a$ 的取值范围是

函数 $f(x)=\frac{3}{2 \sin ^2 x+1}+\frac{8}{3 \cos ^2 x+2}(x \in \mathrm{R})$ 的最小值

设 $f(x)=a \ln x+\frac{1}{2 x}-\frac{3}{2} x+1$, 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处取得极值.
(1) 求 $a$;
(2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值.

袋中装有 5 个乒乓球, 其中 2 个旧球, 现在无放回地每次取一球检验.
(1) 若直到取到新球为止, 求抽取次数 $X$ 的概率分布及其均值;
(2) 若将题设中的“无放回”改为“有放回”, 求检验 5 次取到新球个数 $X$ 的均值.

如图, 在三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $A C=B B_1=2 B C=2, \angle C B B_1=2 \angle C A B=\frac{\pi}{3}$, 且平面 $A B C \perp$ 平面 $B_1 C_1 C B$.
(1) 证明: 平面 $A B C \perp$ 平面 $A C B_1$;
(2) 设点 $P$ 为直线 $B C$ 的中点, 求直线 $A_1 P$ 与平面 $A C B_1$ 所成角的正弦值.

已知抛物线 $E: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$, 若 $\triangle A B C$ 的三个顶点都在抛物线 $E$ 上, 且满足 $\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$,则称该三角形为“核心三角形”.
(1) 设“核心三角形 $A B C$ ”的一边 $A B$ 所在直线的斜率为 2 , 求直线 $A B$ 的方程;
(2) 已知 $\triangle A B C$ 是“核心三角形”, 证明: $\triangle A B C$ 三个顶点的横坐标都小于 2.

对于给定的正整数 $n$, 记集合 $R^n=\left\{\vec{\alpha} \mid \vec{\alpha}=\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\right), x_{\mathrm{j}} \in R, j=1,2,3, \cdots, n\right\}$, 其中元素 $\vec{\alpha}$ 称为一个 $n$ 维向量.特别地, $\overrightarrow{0}=(0,0, \cdots, 0)$ 称为零向量.

设 $k \in \mathrm{R} ， \vec{\alpha}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right) \in R^n, \vec{\beta}=\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right) \in R^n$, 定义加法和数乘: $k \vec{\alpha}=\left(k a_1, k a_2, \cdots, k a_n\right)$, $\vec{\alpha}+\vec{\beta}=\left(a_1+b_1, a_2+b_2, \cdots, a_n+b_n\right)$.

对一组向量 $\overrightarrow{\alpha_1}, \overrightarrow{\alpha_2}, \ldots, \overrightarrow{\alpha_s}\left(s \in N_{+}, s \geqslant 2\right)$, 若存在一组不全为零的实数 $k_1, k_2, \ldots, k_s$, 使得 $k_1 \overrightarrow{\alpha_1}+k_2 \overrightarrow{\alpha_2}+\cdots+k_s \overrightarrow{\alpha_s}=\overrightarrow{0}$, 则称这组向量线性相关. 否则, 称为线性无关.
(1) 对 $n=3$, 判断下列各组向量是线性相关还是线性无关, 并说明理由.
(1) $\vec{\alpha}=(1,1,1), \vec{\beta}=(2,2,2)$;
(2) $\vec{\alpha}=(1,1,1), \vec{\beta}=(2,2,2), \quad \vec{\gamma}=(5,1,4)$;
(3) $\vec{\alpha}=(1,1,0), \vec{\beta}=(1,0,1), \vec{\gamma}=(0,1,1), \vec{\delta}=(1,1,1)$.
(2) 已知 $\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}$ 线性无关, 判断 $\vec{\alpha}+\vec{\beta}, \vec{\beta}+\vec{\gamma}, \vec{\alpha}+\vec{\gamma}$ 是线性相关还是线性无关, 并说明理由.
(3) 已知 $m(m \geqslant 2)$ 个向量 $\overrightarrow{\alpha_1}, \overrightarrow{\alpha_2}, \ldots, \overrightarrow{\alpha_m}$ 线性相关, 但其中任意 $m-1$ 个都线性无关, 证明:
(1)如果存在等式 $k_1 \overrightarrow{\alpha_1}+k_2 \overrightarrow{\alpha_2}+\cdots+k_m \overrightarrow{\alpha_m}=\overrightarrow{0}\left(k_i \in R, i=1,2,3, \cdots, m\right)$, 则这些系数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 或者全为零, 或者全不为零;
(2)如果两个等式 $k_1 \overrightarrow{\alpha_1}+k_2 \overrightarrow{\alpha_2}+\cdots+k_m \overrightarrow{\alpha_m}=\overrightarrow{0}, l_1 \overrightarrow{\alpha_1}+l_2 \overrightarrow{\alpha_2}+\cdots+l_m \overrightarrow{\alpha_m}=\overrightarrow{0}\left(k_i \in R, l_i \in R, i=1,2,3, \cdots, m\right)$ 同时成立, 其中 $l_1 \neq 0$, 则 $\frac{k_1}{l_1}=\frac{k_2}{l_2}=\cdots=\frac{k_m}{l_m}$.