双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点分别是 $F_1, F_2$, 离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$, 点 $P\left(x_1, y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点, 过 $F_2$ 作 $\angle F_1 P F_2$ 的平分线的垂线, 垂足是 $M,|M O|=\sqrt{2}$, 若 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T} \cdot \overrightarrow{F_2 T}=5$, 则 $T$ 到 $C$ 的两条渐近线距离之和为
$\text{A.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $2 \sqrt{6}$