第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试卷参考答案 (数学 B 类, 2022 年)

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第十四届全国大学生数学竞赛初赛第二次补赛试卷参考答案 (数学 B 类, 2022 年)

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 在空间直角坐标系中设单叶双曲面

S

的方程为

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1

. 求

S

上所有可能的点

P =

(a, b, c)

, 使得过

P

点且落在

S

上的两条直线均平行于平面

x + y - z = 0

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2. 设

Γ = {{(x_{n}} ∣ x_{n} = 0, 2}

, 即

Γ

为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合. 对于任何

x = {x_{n}} \in Γ

Π (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x_{n}}{3^{n}}, f (x) = \underset{n \to + \infty}{\lim^{―}} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} .

证明:

1 . Π

是单射;
2. 集合

Π (Γ)

中的每一点均为

Π (Γ)

的聚点;
3.

f (Γ) = [0, 2]

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3. 设

n \geq 2, A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

为数域

K

上的方阵, 它们的极小多项式两两互素. 证明: 给定数域

K

上的任意多项式

f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x) \in K [x]

, 存在多项式

f (x) \in K [x]

使得对所有

i = 1, 2, \dots, n

有

f (A_{i}) =

f_{i} (A_{i})

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4. 设

A, B

都是秩为

r

的

n

阶不可逆实矩阵,

I

和

J

是集合

{1, 2, \dots, n}

的两个

r + 1

元子集. 用

R^{n \times n}

表示所有

n

阶实矩阵构成的集合, 令

V = {C = {(c_{i j})}_{n \times n} \in R^{n \times n} ∣ c_{i j} = 0

若

i \notin I

或

j \notin J}

.证明: 存在

0 \neq C \in V

使得

A C B = 0

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5. 设

f

与

g

在

[a, b]

上可导, 且对任何

x \in [a, b], g^{'} (x) \neq 0

. 又

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) g (x) d x = 0

.证明: 存在

ξ \in (a, b)

使得

f^{'} (ξ) = 0

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6. 设

A = {\sqrt{\frac{m}{n}} ∣ m, n

为正整数

} ∖ Q

x_{0} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{10^{n!}}

. 对于

x > 0

, 定义

f (x) = {\begin{cases} 0, & x 为无理数, \\ \frac{1}{q^{α}}, & x = \frac{p}{q} 为既约分数. \end{cases}

证明: 1 . 对任何

x \in A

, 存在常数

M_{x} > 0

使得对任何既约分数

\frac{p}{q}

都有

| x - \frac{p}{q} | ⩾ \frac{M_{x}}{q^{2}}

. 2.

f

在

A

中每个点可微的充要条件是

α > 2

.
3. 对任何

α

, 函数

f

在

x_{0}

处均不可微.

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