解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在空间直角坐标系中设单叶双曲面 $S$的方程为 $x^2+y^2-z^2=1$. 求 $S$ 上所有可能的点 $P=$ $(a, b, c)$, 使得过 $P$ 点且落在 $S$ 上的两条直线均平行于平面 $x+y-z=0$.
设 $\Gamma=\left\{\left\{\left(x_n\right\} \mid x_n=0,2\right\}\right.$, 即 $\Gamma$ 为全体各项为 0 或 2 的数列构成的集合. 对于任何 $x=\left\{x_n\right\} \in \Gamma$,
$$
\Pi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{3^n}, \quad f(x)=\varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} .
$$
证明: $1 . \Pi$ 是单射;
2. 集合 $\Pi(\Gamma)$ 中的每一点均为 $\Pi(\Gamma)$ 的聚点;
3. $f(\Gamma)=[0,2]$.
设 $n \geq 2, A_1, A_2, \cdots, A_n$ 为数域 $K$ 上的方阵, 它们的极小多项式两两互素. 证明: 给定数域 $K$上的任意多项式 $f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \in K[x]$, 存在多项式 $f(x) \in K[x]$ 使得对所有 $i=1,2, \cdots, n$ 有 $f\left(A_i\right)=$ $f_i\left(A_i\right)$.
设 $A, B$ 都是秩为 $r$ 的 $n$ 阶不可逆实矩阵, $I$ 和 $J$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的两个 $r+1$ 元子集. 用 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 表示所有 $n$ 阶实矩阵构成的集合, 令
$V=\left\{C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid c_{i j}=0\right.$ 若 $i \notin I$ 或 $\left.j \notin J\right\}$.证明: 存在 $0 \neq C \in V$ 使得 $A C B=0$.
设 $f$ 与 $g$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且对任何 $x \in[a, b], g^{\prime}(x) \neq 0$. 又 $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b f(x) g(x) d x=0$.证明: 存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
设 $A=\left\{\sqrt{\frac{m}{n}} \mid m, n\right.$ 为正整数 $\} \backslash \mathbb{Q}$, $x_0=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^{n !}}$. 对于 $x>0$, 定义 $f(x)= \begin{cases}0, & x \text { 为无理数, } \\ \frac{1}{q^\alpha}, & x=\frac{p}{q} \text { 为既约分数. }\end{cases}$
证明: 1 . 对任何 $x \in A$, 存在常数 $M_x>0$ 使得对任何既约分数 $\frac{p}{q}$ 都有 $\left|x-\frac{p}{q}\right| \geqslant \frac{M_x}{q^2}$. 2. $f$ 在 $A$ 中每个点可微的充要条件是 $\alpha>2$.
3. 对任何 $\alpha$, 函数 $f$ 在 $x_0$ 处均不可微.