甘肃省兰州市2023年中考数学试卷

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甘肃省兰州市2023年中考数学试卷

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. -5 的相反数是

A.

- \frac{1}{5}

B.

\frac{1}{5}

C.

D.

-5

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2. 图, 直线

A B

与

C D

相交于点

O

, 则

∠ B O D =

A.

40^{\circ}

B.

50^{\circ}

C.

55^{\circ}

D.

60^{\circ}

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3. 计算:

\frac{a^{2} - 5 a}{a - 5} =

A.

a - 5

B.

a + 5

C.

D.

a

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4. 如图 1 是我国古建筑墙上采用的八角形空窗, 其轮廓是一个正八边形, 窗外之境如同镶嵌于一个画框之中. 如图 2 是八角形空窗的示意图, 它的一个外角

∠ 1 =

A.

45^{\circ}

B.

60^{\circ}

C.

110^{\circ}

D.

135^{\circ}

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5. 方程

\frac{2}{x + 3} = 1

的解是

A.

x = 1

B.

x = - 1

C.

x = 5

D.

x = - 5

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6. 如图 1 是一段弯管, 弯管的部分外轮廓线如图 2 所示是一条圆弧

\hat{A B}

, 圆弧的半径

O A = 20 cm

, 圆心角

∠ A O B = 90^{\circ}

, 则

\hat{A B} = ()

A.

20 π cm

B.

10 π cm

C.

5 π cm

D.

2 π cm

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7. 已知二次函数

y = - 3 (x - 2)^{2} - 3

, 下列说法正确的是

A.

对称轴为

x = - 2

B.

顶点坐标为

(2, 3)

C.

函数的最大值是 -3

D.

函数的最小值是 -3

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8. 关于

x

的一元二次方程

x^{2} + b x + c = 0

有两个相等的实数根, 则

b^{2} - 2 (1 + 2 c) = ()

A.

-2

B.

C.

-4

D.

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9. 2022 年我国新能源汽车销量持续增长, 全年销量约为 572.6 万辆, 同比增长

91.7 %

, 连续 8 年位居全球第一. 下面的统计图反映了 2021 年、 2022 年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况. (2022 年同比增长速度

= \frac{2022 年当月销量 - 2021 年当月销量}{2021 年当月销量} \times 100 %)

根据统计图提供的信息, 下列推断不合理的是

A.

2021 年新能源汽车月度销量最高是 12 月份, 超过 40 万辆

B.

2022 年新能源汽车月度销量超过 50 万辆的月份有 6 个

C.

相对于 2021 年, 2022 年新能源汽车同比增长速度最快的是 2 月份, 达到了

181.1 %

D.

相对于 2021 年, 2022 年从 5 月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低

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10. 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法. 如《淮南子天文训》中记载: “正朝夕: 先树一表东方; 操一表却去前表十步, 以参望日始出北廉. 日直入, 又树一表于东方, 因西方之表, 以参望日方入北康. 则定东方两表之中与西方之表, 则东西也. "如图, 用几何语言叙述作图方法: 已知直线

a

和直线外一定点

O

, 过点

O

作直线与

a

平行. (1) 以

O

为圆心, 单位长为半径作圆, 交直线

a

于点

M, N

;
(2) 分别在

M O

的延长线及

O N

上取点

A, B

, 使

O A = O B

; (3) 连接

A B

, 取其中点

C

, 过

O, C

两点确定直线

b

, 则直线

a ∥ b

. 按以上作图顺序, 若

∠ M N O = 35^{\circ}

, 则

∠ A O C = ()

A.

35^{\circ}

B.

30^{\circ}

C.

25^{\circ}

D.

20^{\circ}

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11. 一次函数

y = k x - 1

的函数值

y

随

x

的增大而减小, 当

x = 2

时,

y

的值可以是

A.

B.

C.

-1

D.

-2

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12. 如图, 在矩形

A B C D

中, 点

E

为

B A

延长线上一点,

F

为

C E

的中点, 以

B

为圆心,

B F

长为半径的圆弧过

A D

与

C E

的交点

G

, 连接

B G

. 若

A B = 4, C E = 10

, 则

A G = ()

A.

B.

2.5

C.

D.

3.5

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 因式分解:

x^{2} - 25 y^{2} =

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14. 如图, 在

A B C D

中,

B D = C D, A E ⊥ B D

于点

E

, 若

∠ C = 70^{\circ}

, 则

∠ B A E =

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15. 如图, 将面积为 7 的正方形

O A B C

和面积为 9 的正方形

O D E F

分别绕原点

O

顺时针旋转, 使

O A, O D

落在数轴上, 点

A, D

在数轴上对应的数字分别为

a, b

, 则

b - a =

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16. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验, 整理的实验数据如下表:

下面有三个推断:
(1)通过上述实验的结果, 可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的;
(2)第 2000 次实验的结果一定是“盖面朝上”;
(3)随着实验次数的增大, “盖面朝上”的概率接近 0.53 .
其中正确的是 . (填序号)

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三、解答题（共 11 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算:

\sqrt{3} \times \sqrt{6} - \sqrt{8}

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18. 解不等式组:

{\begin{matrix} 3 x - 1 > 2 (x + 1) \\ \frac{x + 2}{3} > x - 2 \end{matrix}

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19. 如图, 反比例函数

y = \frac{k}{x} (x < 0)

与一次函数

y = - 2 x + m

的图象交于点

A (- 1, 4), B C ⊥ y

轴于点

D

, 分别交反比例函数与一次函数的图象于点

B, C

.
(1) 求反比例函数

y = \frac{k}{x}

与一次函数

y = - 2 x + m

的表达式;
(2) 当

O D = 1

时, 求线段

B C

的长.

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20. 21. 综合与实践
（1）问题探究：如图 1 是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第 1 卷命题 9: “平分一个已知角. ” 即: 作一个已知角的平分线, 如图 2 是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法: 在

O A

和

O B

上分别取点

C

和

D

, 使得

O C = O D

, 连接

C D

, 以

C D

为边作等边三角形

C D E

, 则

O E

就是

∠ A O B

的平分线.

请写出

O E

平分

∠ A O B

的依据:
(2) 类比迁移: 小明根据以上信息研究发现:

△ C D E

不一定必须是等边三角形, 只需

C E = D E

即可. 他查阅资料: 我国古代已经用角尺平分任意角. 做法如下: 如图 3, 在

∠ A O B

的边

O A, O B

上分别取

O M = O N

, 移动角尺, 使角尺两边相同刻度分别与点

M, N

重合, 则过角尺顶点

C

的射线

O C

是

∠ A O B

的平分线, 请说明此做法的理由;

（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图 4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口 A，现在学校要在两
条小路之间安装一盏路灯 E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯 E 到岔路口 A 的距离和
休息椅 D 到岔路口 A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示
意图 5 中作出路灯 E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

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21. 如图 1 是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”. “兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造, 如巨龙腾空, 气势如虹, 屹立在黄河北岸. 某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑 CD 高度的实践活动. 具体过程如下: 如图 2, “龙”字雕塑

CD

位于垂直地面的基座

BC

上, 在平行于水平地面的

A

处测得

∠ B A C = 38^{\circ}

、

∠ B A D = 53^{\circ}, A B = 18 m

. 求“龙”字雕塑

C D

的高度. (

B, C, D

三点共线,

B D ⊥ A B

. 结果精确到

0.1 m

) (参考数据:

\sin 38^{\circ} \approx 0.62, \cos 38^{\circ} \approx 0.79, \tan 38^{\circ} \approx 0.78, \sin 53^{\circ} \approx 0.80, \cos 53^{\circ} \approx 0.60, \tan 53^{\circ} \approx 1.33

)

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22. 一名运动员在

10 m

高的跳台进行跳水, 身体 (看成一点) 在空中的运动轨迹是一条抛物线, 运动员离水面

O B

的高度

y (m)

与离起跳点

A

的水平距离

x (m)

之间的函数关系如图所示, 运动员离起跳点

A

的水平距离为

1 m

时达到最高点, 当运动员离起跳点

A

的水平距离为

3 m

时离水面的距离为

7 m

.
(1) 求

y

关于

x

的函数表达式;
(2) 求运动员从起跳点到入水点的水平距离

O B

的长.

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23. 如图, 矩形

A B C D

的对角线

A C

与

B D

相交于点

O, C D ∥ O E

, 直线

C E

是线段

O D

的垂直平分线,

C E

分别交

O D, A D

于点

F, G

, 连接

D E

.
(1) 判断四边形

O C D E

的形状, 并说明理由;
(2) 当

C D = 4

时, 求

E G

的长.

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24. 某校八年级共有男生 300 人, 为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况, 从中随机抽取 40 名男生进行测试, 对数据进行整理、描述和分析, 下面是给出的部分信息.
信息一: 排球垫球成绩如下图所示(成绩用

x

表示, 分成六组: A.

x < 10

; B.

10 \leq x < 15

; C.

15 \leq x < 20

;
D.

20 \leq x < 25

; E.

25 \leq x < 30

; F.

30 \leq x)

(1) 填空:

m =

(2) 下列结论正确的是 ; (填序号)
①排球垫球成绩超过 10 个的人数占抽取人数的百分比低于

60 %

;
② 郑实心球成绩的中位数记为

n

, 则

6.8 \leq n < 7.6

;
③若排球垫球成绩达到 22 个及以上时, 成绩记为优秀. 如果信息四中 6 名男生的两项成绩恰好为优秀的有

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25. 如图,

△ A B C

内接于

⊙ O, A B

是

⊙ O

的直径,

\overset{⏜}{B C} = \hat{B D}, D E ⊥ A C

于点

E, D E

交

B F

于点

F

, 交

A B

于点

G, ∠ B O D = 2 ∠ F

, 连接

B D

.
(1) 求证:

B F

是

⊙ O

的切线;
(2) 判断

△ D G B

的形状, 并说明理由;
(3) 当

B D = 2

时, 求

F G

的长.

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26. 在平面直角坐标系中, 给出如下定义:

P

为图形

M

上任意一点, 如果点

P

到直线

E F

的距离等于图形

M

上任意两点距离的最大值时, 那么点

P

称为直线

E F

的“伴随点”.
例如: 如图 1, 已知点

A (1, 2), B (3, 2), P (2, 2)

在线段

A B

上, 则点

P

是直线

E F : x

轴的“伴随点”.

(1) 如图 2, 已知点

A (1, 0), B (3, 0), P

是线段

A B

上一点, 直线

E F

过

G (- 1, 0), T (0, \frac{\sqrt{3}}{3})

两点, 当点

P

是直线

E F

的“伴随点”时, 求点

P

的坐标;
(2) 如图 3,

x

轴上方有一等边三角形

A B C, B C ⊥ y

轴, 顶点

A

在

y

轴上且在

B C

上方,

O C = \sqrt{5}

, 点

P

是

△ A B C

上一点, 且点

P

是直线

E F : x

轴的“伴随点”. 当点

P

到

x

轴的距离最小时, 求等边三角形

A B C

的边长;
(3) 如图 4, 以

A (1, 0), B (2, 0), C (2, 1)

为顶点的正方形

A B C D

上始终存在点

P

, 使得点

P

是直线

E F

y = - x + b

的“伴随点”. 请直接写出

b

的取值范围.

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27. 综合与实践
(1)【思考尝试】
数学活动课上, 老师出示了一个问题: 如图 1, 在矩形

ABCD

中,

E

是边

A B

上一点,

D F ⊥ C E

于点

F, G D ⊥ D F

A G ⊥ D G, A G = C F

. 试猜想四边形

A B C D

的形状, 并说明理由;
(2)【实践探究】
小䜭受此问题启发, 逆向思考并提出新的问题: 如图 2, 在正方形

A B C D

中,

E

是边

A B

上一点,

D F ⊥ C E

于点

F, A H ⊥ C E

于点

H, G D ⊥ D F

交

A H

于点

G

, 可以用等式表示线段

F H, A H, C F

的数量关系, 请你思考并解答这个问题;
(3)【拓展迁移】
小博深入研究小㕝提出的这个问题, 发现并提出新的探究点: 如图 3, 在正方形

A B C D

中,

E

是边

A B

上一点,

A H ⊥ C E

于点

H

, 点

M

在

C H

上, 且

A H = H M

, 连接

A M, B H

, 可以用等式表示线段

C M, B H

的数量关系, 请你思考并解答这个问题.

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