21. 综合与实践
（1）问题探究：如图 1 是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第 1 卷命题 9: “平分一个已知角. ” 即: 作一个已知角的平分线, 如图 2 是欧几里得在 《几何原本》中给出的角平分线作图法: 在 $O A$ 和 $O B$ 上 分别取点 $C$ 和 $\mathrm{D}$, 使得 $O C=O D$, 连接 $C D$, 以 $C D$ 为边作等边三角形 $C D E$, 则 $O E$ 就是 $\angle A O B$ 的平分线.

请写出 $O E$ 平分 $\angle A O B$ 的依据:
(2) 类比迁移: 小明根据以上信息研究发现: $\triangle C D E$ 不一定必须是等边三角形, 只需 $C E=D E$ 即可. 他 查阅资料: 我国古代已经用角尺平分任意角. 做法如下: 如图 3, 在 $\angle A O B$ 的边 $O A, O B$ 上分别取 $O M=O N$, 移动角尺, 使角尺两边相同刻度分别与点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 重合, 则过角尺顶点 $\mathrm{C}$ 的射线 $O C$ 是 $\angle A O B$ 的平分线, 请 说明此做法的理由;



（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图 4，校园的两条小路 和 ，汇聚形成了一个岔路口 A，现在学校要在两
条小路之间安装一盏路灯 E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯 E 到岔路口 A 的距离和
休息椅 D 到岔路口 A 的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示
意图 5 中作出路灯 E 的位置．（保留作图痕迹，不写作法）