单选题 （共 25 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{1}{1-x^2}$, 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $\arcsin x$
$\text{B.}$ $\arctan x$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1-x}{1+x}\right|$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right|$.
设 $I=\int \arctan x \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $x \arctan x-\ln \sqrt{x^2+1}+C$
$\text{B.}$ $x \arctan x-\ln \left|x^2+1\right|+C$
$\text{C.}$ $x \arctan x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{1+x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}} \mathrm{~d} x$, 则 $I=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{B.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{C.}$ $a \arcsin \frac{x}{a}-x \sqrt{a^2-x^2}+C$.
$\text{D.}$ $\arcsin \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C$.
设 $I=\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \sqrt{x}+C$
$\text{C.}$ $(\arctan \sqrt{x})^2+C$.
$\text{D.}$ $-\sqrt{\arctan x}+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{B.}$ $\arctan \mathrm{e}^x+C$.
$\text{C.}$ $\arctan \mathrm{e}^{-x}+C$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}+C$.
设 $I=\int(2 x-3)^{10} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $10(2 x-3)^9+C$.
$\text{B.}$ $20(2 x-3)^9+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{22}(2 x-3)^{11}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{11}(2 x-3)^{11}+C$.
设 $\int f(x) \mathrm{d} x=F(x)+C$, 则 $\int \frac{1}{x^2} f\left(\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ $F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{B.}$ $-F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} F\left(\frac{2}{x}\right)+C$
$\text{D.}$ $2 F\left(\frac{2}{x}\right)+C$.
设 $I=\int \frac{\mathrm{d} x}{1+\sqrt{x}}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $-2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{x}+2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{C.}$ $2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$
$\text{D.}$ $-2 \sqrt{x}-2 \ln (1+\sqrt{x})+C$.
设 $I=\int a^{b x} \mathrm{~d} x$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a}+C$
$\text{B.}$ $\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x}+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln a} a^{b x}+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{b} \cdot a^{b x}+C$.
设 $I=\int \frac{x \mathrm{~d} x}{a+b x^2}$, 则 $I=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{B.}$ $\frac{b}{2} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2 b} \ln \left|a+b x^2\right|+C$.
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 必要条件
$\text{B.}$ 充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
由 $[a, b]$ 上连续曲线 $y=f(x)$, 直线 $x=a, x=b(a < b)$ 和 $x$ 轴围成图形的面积 $S=$.
$\text{A.}$ $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right|$
$\text{C.}$ $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\frac{[f(b)+f(a)](b-a)}{2}$.
设在区间 $[a, b]$ 上 $f(x)>0, f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
令 $S_1=\int_a^b-f(x) \mathrm{d} x, S_2=f(b)(b-a), S_3=\frac{1}{2}[f(b)+f(a)](b-a)$, 则有
$\text{A.}$ $S_1 < S_2 < S_3$.
$\text{B.}$ $S_2 < S_1 < S_3$.
$\text{C.}$ $S_3 < S_1 < S_2$.
$\text{D.}$ $S_2 < S_3 < S_1$
$\int_{-1}^0|3 x+1| \mathrm{d} x= $.
$\text{A.}$ $\frac{5}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$.
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \geqslant 0, \\ \mathrm{e}^x, x < 0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^2 f(x) \mathrm{d} x= $.
$\text{A.}$ $3-\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{B.}$ $3+\mathrm{e}^{-1}$.
$\text{C.}$ $3-\mathrm{e}$
$\text{D.}$ $3+\mathrm{e}+$
估计积分值 $A=\int_0^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ 为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant 1$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4}} \leqslant A \leqslant \frac{1}{2}$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_n^{n+a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x= $.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
$\int_0^\pi \sin x \mathrm{~d} x=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 \sin x \mathrm{~d} x=$.
$\text{A.}$ $\pi-2$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} \pi$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} \pi$.
$\text{D.}$ $-\pi$
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{\pi}{2}$.
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $-\pi$.
由抛物线 $y=6-x^2$ 与直线 $y=3-2 x$ 围成平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{11}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{18}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{19}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{32}{3}$.
由不等式 $a^2 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 2 a x$ 所确定的平面区域的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\sqrt{2}\right) a^2$.
$\text{B.}$ $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \pi a^2$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) a^2$.
$\text{D.}$ $\left(\frac{3}{2} \pi-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) a^2$.
由星形线 $x=a \cos ^3 t, y=a \sin ^3 t$ 围成的平面图形的面积 $A=$.
$\text{A.}$ $\frac{\pi a^2}{2}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{5} \pi a^2$
$\text{C.}$ $\frac{\pi a^2}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{8} \pi a^2$.
抛物线 $y^2=2 p x$ 及其在点 $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ 处的法线所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{5}{2} p^2$
$\text{B.}$ $5 p^2$
$\text{C.}$ $\frac{12}{5} p^2$
$\text{D.}$ $\frac{16}{3} p^2$
曲线 $y=x \mathrm{e}^{\frac{x^2}{2}}$ 与其渐近线之间图形的面积为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6