填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha>1$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k^\alpha}=$
设 $f(x)=x^{2021} e^{2020 x} \sin x$ ，则 $f^{(2023)}(0)=$
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $\frac{f(x)}{F(x)}=-2, F(0)=1$ ，
则 $\int_0^{+\infty} F(x) \mathrm{d} x=$
二重积分 $\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ 其中
$$
D=[0, \sqrt{\pi}] \times[0, \sqrt{\pi}] .
$$
设 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是其外法向量的方向余弦，则
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} S=
$$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$.
设三角形的三个内角分别为 $A, B, C$ ，求$3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C$的最大值.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \\ 1, x=0 .\end{array}\right.$
证明: (1) 对任意的自然数 $n \geq 2$ ，存在唯一的 $x_n \in(0,1)$ ，使得
$$
\int_{\frac{1}{n}}^{x_n} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_n}^1 \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x .
$$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在.
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开 区间 $(a, b)$ 内可导， $f(a) \neq f(b)$. 证明: 存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ， 使得
$$
a b(a+b) f^{\prime}(\xi)=2 \xi \eta^2 f^{\prime}(\eta)
$$
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛).
设 $f(x)$ 一阶连续可导，
$$
R(x, y, z)=\int_0^{x^2+y^2} f(z-t) \mathrm{d} t
$$
曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $y+z=1$ 所截的下面部分 的内侧， $L$ 为 $\Sigma$ 的正向边界，求
$$
\begin{aligned}
& I=\oint_L 2 x z f\left(z-x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \\
&+\left[x^3+2 y z f\left(z-x^2-y^2\right)\right] \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z .
\end{aligned}
$$
设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且以 $T>0$ 为周期的连续函数， 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)}{x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) \mathrm{d} x
$$