单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x>0$ 时，$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{2 \sqrt{x+\theta(x)}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{5}$
下列 5 个命题
（1）设 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)\right]=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 必连续．
（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，$g(x)$ 在 $x=x_0$ 不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x=x_0$ 必不连续．
（3）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．
（4）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．
（5）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．其中正确的命题个数为
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^2\left(1+\frac{2}{n}\right)^2 \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^2}$ 化为定积分有如下结果：
（1） $\int_1^2 \ln ^2 x \mathrm{~d} x$ ；
（2） $2 \int_1^2 \ln x \mathrm{~d} x$ ；
（3） $2 \int_0^1 \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ；
（4） $\int_0^1 \ln ^2(1+x) \mathrm{d} x$
以上结果中正确的是
$\text{A.}$ （1）（2）．
$\text{B.}$ （1）（4）．
$\text{C.}$ （2）（3）．
$\text{D.}$ （2）（4）．
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $a \neq 0$ ，则
$\text{A.}$ $\int_{-a}^a f\left(x^3\right) \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-a}^a x f^2(x) \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{C.}$ $\int_{-a}^a x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x=0$ ．
$\text{D.}$ $\int_{-a}^a x[f(x)-f(-x)] \mathrm{d} x=0$ ．
设 $y_0(x)$ 为二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的一个特解，且 $y_0(x) e^{-x}$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，则 ．
$\text{A.}$ $a=-2, b=-2$
$\text{B.}$ $a=-2, b=2$
$\text{C.}$ $a=2, b=-2$
$\text{D.}$ $a=2, b=2$
已知函数 $f(x, y)=2 x+3 y+\sqrt[3]{4 x y(5 x-3 y)}$ ，令 $g(x)=f(x, x), h(x)=f(x, 2 x)$ ，给出以下四个结论：
（1）$\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=3$ ；
（2）$\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=2 \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} y$ ；
（3）$g^{\prime}(0)=5$ ；
（4）$h^{\prime}(0)=6$
其中正确结论的一个数是
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=\frac{x-5}{x^2-1}$ ，则 $y^{(2026)}(0)=$
$\int_0^{2026 \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x=$
设 $z=z(x, y)$ 由方程 $F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定，其中 $F$ 可微，且 $F_2^{\prime} \neq 0$ ，则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $f(x)$ 连续，$f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t f(x-t) d t}{x \int_0^x f(x-t) d t}$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leqslant x \leqslant 1} f(x)=-1$ ．证明：存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$
设曲线 $y=\sin x$ 与 $y=\cos x$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上所围平面图形为 $D$ ．
（1）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V_1$ ；
（2）求 $D$ 绕直线 $x=\frac{\pi}{4}$ 旋转一周所得旋转体的体积 $V_2$ ．
设函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=e^{-2 x}$ 及 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=-4$ ，求反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) d x$ ．
求 $f(x, y)=x^2-y^2+2$ 在 $D: x^2+\frac{y^2}{4} \leqslant 1$ 上的最值．