下列 5 个命题
（1）设 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0-h\right)\right]=0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 必连续．
（2）设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，$g(x)$ 在 $x=x_0$ 不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x=x_0$ 必不连续．
（3）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．
（4）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．
（5）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．其中正确的命题个数为