单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $a \in \mathrm{R}$ ，若 $a-2+(a-3) \mathrm{i}$（ i 为虚数单位）是实数，则 $a=$（）
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
已知平面向量 $\vec{a}=(m, 4), \vec{b}=(1,-2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m=$
$\text{A.}$ -8
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 8
如图所示，水平放置的 $\triangle A B C$ 用斜二测画法画出的直观图为 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，其中 $\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$ ， $A^{\prime} O^{\prime}=B^{\prime} O^{\prime}=C^{\prime} O^{\prime}=1$ ，则 $\triangle A B C$ 为
$\text{A.}$ 等腰非等边三角形
$\text{B.}$ 等边三角形
$\text{C.}$ 直角三角形
$\text{D.}$ 针角三角形
设非零向量 $a,b$ 满足 $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=0$ ，则
$\text{A.}$ $\vec{a} \perp \vec{b}$
$\text{B.}$ $\vec{a} / / \vec{b} $
$\text{C.}$ $|\vec{a}|=|\vec{b}|$
$\text{D.}$ $|\vec{a}|>|\vec{b}|$
已知 $3+2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+p x+q=0(p, q \in R)$ 的一个复数根，则 $p=$（ ）
$\text{A.}$ -6
$\text{B.}$ -4
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 6
已知正三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 的底面边长为 2 ，高为 5 ，一质点从 $A$ 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 $A_1$ 点的最短路线长为
$\text{A.}$ $\sqrt{61}$
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ $5 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ 13
已知圆台 $O_1 O_2$ 上、下底面的半径分别为 2,4 ，圆台的高为 6 ．若该圆台的两个底面的圆周都在同一个球的表面上，则这个球的半径为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ $2 \sqrt{5}$
已知 $a, b, c$ 为锐角 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边．若 $a=1, B=2 A$ ，则 $b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(1, \sqrt{2})$
$\text{B.}$ $(1, \sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$
$\text{D.}$ $(\sqrt{3}, 2)$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
已知平面向量 $\vec{a}=(\sqrt{3},-1), \vec{b}=(1, \sqrt{3})$ ，则
$\text{A.}$ $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$
$\text{B.}$ $|\vec{a}+\vec{b}|=2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $(\vec{a}-\vec{b}) \perp(\vec{a}+\vec{b})$
$\text{D.}$ $\vec{a}+\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\sqrt{3} \vec{a}$
设 $Z_1, Z_2$ 是复数，则
$\text{A.}$ 若 $\left|z_1-z_2\right|=0$ ，则 $\overline{z_1}=\overline{z_2}$
$\text{B.}$ 若 $z_1=\overline{z_2}$ ，则 $\overline{z_1}=z_2$
$\text{C.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ ，则 $z_1= \pm z_2$
$\text{D.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ ，则 $z_1^2=z_2^2$
已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，则
$\text{A.}$ 若 $a>b$ ，则 $\sin A>\sin B$
$\text{B.}$ 若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C} < 0$ ，则 $\triangle A B C$ 为钝角三角形
$\text{C.}$ 若 $\tan A+\tan B+\tan C>0$ ，则 $\triangle A B C$ 为锐角三角形
$\text{D.}$ 若满足 $A=\frac{\pi}{6}, b=6$ 的 $\triangle A B C$ 有且仅有一个，则 $a$ 的取值范围是 $\left.6,+\infty\right)$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边．若 $a=3, b=\sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}$ ，则 $B=$
复数 $z$ 满足 $(1-i) z=2 i$ ，则 $|z|=$
已知向量 $a,b$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=2,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ ，则 $|\vec{a}|+|\vec{b}|$ 的取值范围为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
正方体的棱长为 2 ，以其所有面的中心为顶点构成一个如图所示多面体．
（1）求该多面体的表面积和体积．
（2）若将该多面体内接于球内，求该球体的表面积与体积．
已知复数 $z_1=m+\left(3-m^2\right) i, z_2=3 \cos \theta+(\lambda+9 \sin \theta) i(\lambda, \theta \in R)$ ．
（1）若 $z_1$ 是虚数，求 $m$ 的取值范围．
（2）若复平面内复数 $z_1$ 对应的点位于第四象限，求 $m$ 的取值范围．
（3）若 $z_1=z_2$ ，求 $\lambda$ 的取值范围．
已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边．
（1）请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明．
（2）若 $c=5$ ，
（i）若 $a \sin A=4 b \sin B, C=\frac{\pi}{3}$ ，求 $a$ ．
（ii）若 $a b=20$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的最大值．
如图，在 $\triangle A B C$ 中，已知 $A B=2, A C=4, \angle B A C=60^{\circ}, \overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{M C}$ ，点 $N$ 为 $A C$ 边的中点，$A M, B N$ 相交于点 $P$
（1）用 $A B, \overrightarrow{A C}$ 表示 $\overrightarrow{A M}$ ．
（2）求 $\cos \angle M P N$ ．
（3）若 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A M}$ ，求 $\lambda$ 的值．
设 $O x, O y$ 是平面内夹角成 $\theta\left(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}, \theta \neq 90^{\circ}\right)$ 的两条数轴， $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2 \text { 两分别为 } x \text { 轴，} y \text { 轴 }}$正方向同向的单位向量．若向量 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O P}$ 在此坐标系中的坐标，记 $\overrightarrow{O P}=(x, y)$ ．已知 $\overrightarrow{O A}=(3,1), \overrightarrow{O B}=(1,1)$ ．
（1）若 $\theta=60^{\circ}$ ．
（i）求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ．
（ii）是否存在 $O y$ 上一点 $C$ ，使得 $\triangle A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，求出 $C$ 点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若 $|\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $t \in R$ 恒成立，求 $\cos \langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle$ 的最大值．