设 $O x, O y$ 是平面内夹角成 $\theta\left(0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}, \theta \neq 90^{\circ}\right)$ 的两条数轴， $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2 \text { 两分别为 } x \text { 轴，} y \text { 轴 }}$正方向同向的单位向量．若向量 $\overrightarrow{O P}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\overrightarrow{O P}$ 在此坐标系中的坐标，记 $\overrightarrow{O P}=(x, y)$ ．已知 $\overrightarrow{O A}=(3,1), \overrightarrow{O B}=(1,1)$ ．
（1）若 $\theta=60^{\circ}$ ．
（i）求 $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ ．
（ii）是否存在 $O y$ 上一点 $C$ ，使得 $\triangle A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的直角三角形？若存在，求出 $C$ 点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若 $|\overrightarrow{O A}-t \overrightarrow{O B}| \geq \sqrt{3}$ 对 $t \in R$ 恒成立，求 $\cos \langle\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}\rangle$ 的最大值．