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已知 $a, b, c$ 为 $\triangle A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边．
（1）请写出余弦定理中任意一个表达式，并用向量法证明．
（2）若 $c=5$ ，
（i）若 $a \sin A=4 b \sin B, C=\frac{\pi}{3}$ ，求 $a$ ．
（ii）若 $a b=20$ ，求 $\triangle A B C$ 面积的最大值．
                        
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