2020年北京市中考数学试卷

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2020年北京市中考数学试卷

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A.

圆柱

B.

圆椎

C.

三棱柱

D.

长方体

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2. 2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（　　）

A.

0.36 \times 10^{5}

B.

3.6 \times 10^{5}

C.

3.6 \times 10^{4}

D.

36 \times 10^{3}

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3. 如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（　　）

A.

∠ 1 = ∠ 2

B.

∠ 2 = ∠ 3

C.

∠ 1 > ∠ 4 + ∠ 5

D.

∠ 2 < ∠ 5

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4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A.

B.

C.

D.

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5. 正五边形的外角和为（　　）

A.

180^{\circ}

B.

360^{\circ}

C.

540^{\circ}

D.

720^{\circ}

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6. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A.

B.

-1

C.

-2

D.

-3

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7. 不透明的袋子中有两个小球, 上面分别写着数字“ 1 ”, “ 2 ”, 除数字外两个小球无其他差别. 从中随机摸出一个小球, 记录其数字, 放回并摇匀, 再从中随机摸出一个小球, 记录其数字, 那么两次记录的数字之和为 3 的概率是（　　）

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{2}{3}

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8. 有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（　　）

A.

正比例函数关系

B.

一次函数关系

C.

二次函数关系

D.

反比例函数关系

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二、填空题（共 8 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 若代数式

\frac{1}{x - 7}

有意义, 则实数

x

的取值范围是（　　）

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10. 已知关于

x

的方程

x^{2} + 2 x + k = 0

有两个相等的实数根, 则

k

的值是（　　）

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11. 写出一个比

\sqrt{2}

大且比

\sqrt{15}

小的整数

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12. 方程组

{\begin{cases} x - y = 1 \\ 3 x + y = 7 \end{cases}

的解为（　　）

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13. 在平面直角坐标系

x O y

中, 直线

y = x

与双曲线

y = \frac{m}{x}

交于

A, B

两点. 若点

A, B

的纵坐标分别为

y_{1}, y_{2}

, 则

y_{1} + y_{2}

的值为（　　）

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14. 如图, 在

△ A B C

中,

A B = A C

, 点

D

在

B C

上 (不与点

B, C

重合). 只需添加一个条件即可证明

△ A B D ≅ △ A C D

, 这个条件可以是（　　） (写出一个即可).

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15. 如图所示的网格是正方形网格,

A, B, C, D

是网格线交点, 则

△ A B C

的面积与

△ A B D

的面积的大小关系为:

S_{△ A B C}

（　　）

S_{△ A B D}

(填 > = 或 < )

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16. 如图是某剧场第一排座位分布图. 甲、乙、丙、丁四人购票, 所购票数分别为

2, 3, 4, 5

. 每人选座购票时, 只购买第一排的座位相邻的票, 同时使自己所选的座位号之和最小, 如果按 “甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票, 那么甲购买 1,2 号座位的票, 乙购买 3,5 , 7 号座位的票, 丙选座购票后, 丁无法购买到第一排座位的票. 若丙第一个购票, 要使其他三人都能购买到第一排座位的票, 写出一种满足条件的购票的先后顺序

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三、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17.

{(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{18} + | - 2 | - 6 \sin 45^{\circ}

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18. 解不等式组:

{\begin{cases} 5 x - 3 > 2 x, \\ \frac{2 x - 1}{3} < \frac{x}{2} . \end{cases}

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19. 已知

5 x^{2} - x - 1 = 0

, 求代数式

(3 x + 2) (3 x - 2) + x (x - 2)

的值.

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20. 已知: 如图,

△ A B C

为锐角三角形,

A B = A C, C D / / A B

.
求作: 线段

B P

, 使得点

P

在直线

C D

上, 且

∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C

.
作法: (1)以点

A

为圆心,

A C

长为半径画圆, 交直线

C D

于

C, P

两点;
(2)连接

B P

.
线段

B P

就是所求作的线段.
(1) 使用直尺和圆规, 依作法补全图形 (保留作图痕迹);
(2) 完成下面的证明.
证明:

∵ C D / / A B

∴ ∠ A B P =

∵ A B = A C,

∴

点

B

在

⊙ A

上.

又

∵

点

C, P

都在

⊙ A

上,

∴ ∠ B P C = \frac{1}{2} ∠ B A C

( ) (填推理的依据).

∴ ∠ A B P = \frac{1}{2} ∠ B A C .

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21. 如图, 菱形

A B C D

的对角线

A C, B D

相交于点

O, E

是

A D

的中点, 点

F, G

在

A B

上,

E F

⊥ A B, O G / / E F

.
(1) 求证: 四边形

O E F G

是矩形;
(2) 若

A D = 10, E F = 4

, 求

O E

和

B G

的长.

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22. 在平面直角坐标系

x O y

中, 一次函数

y = k x + b (k \neq 0)

的图象由函数

y = x

的图象平移得到,
且经过点

(1, 2)

.
（1）求这个一次函数的解析式;
(2) 当

x > 1

时, 对于

x

的每一个值, 函数

y = m x (m \neq 0)

的值大于一次函数

y = k x + b

的值, 直接写出

m

的取值范围.

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23. 如图,

A B

为

⊙ O

的直径,

C

为

B A

延长线上一点,

C D

是

⊙ O

的切线,

D

为切点,

O F ⊥ A D

于点

E

, 交

C D

于点

F

.
(1) 求证:

∠ A D C = ∠ A O F

;
(2) 若

\sin C = \frac{1}{3}, B D = 8

, 求

E F

的长.

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24. 小云在学习过程中遇到一个函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)

.
下面是小云对其探究的过程, 请补充完整:
(1) 当

- 2 ⩽ x < 0

时, 对于函数

y_{1} = | x |

, 即

y_{1} = - x

, 当

- 2 ⩽ x < 0

时,

y_{1}

随

x

的增大而且

y_{1} > 0

; 对于函数

y_{2} = x^{2} - x + 1

, 当

- 2 ⩽ x < 0

时,

y_{2}

随

x

的增大而（　　） , 且

y_{2} > 0

; 结合上述分析, 进一步探究发现, 对于函数

y

, 当

- 2 ⩽ x < 0

时,

y

随

x

的增大而
（2）当

x ⩾ 0

时, 对于函数

y

, 当

x ⩾ 0

时,

y

与

x

的几组对应值如下表:

结合上表, 进一步探究发现, 当

x ⩾ 0

时,

y

随

x

的增大而增大. 在平面直角坐标系

x O x

中, 画出当

x ⩾ 0

时的函数

y

的图象.

(3) 过点

(0, m) (m > 0)

作平行于

x

轴的直线

l

, 结合 (1) (2) 的分析, 解决问题若直线

l

与函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)

的图象有两个交点, 则

m

的最大值是（　　）

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25. 小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：
a．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

b．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

(1) 该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为（结果取整数);
(2) 已知该小区 4 月的厨余垃圾分出量的平均数为 60 , 则该小区 5 月 1 日至 30 日的厨余垃圾分出量的平均数约为 4 月的（　　）倍（结果保留小数点后一位);
(3) 记该小区 5 月 1 日至 10 日的厨余垃圾分出量的方差为

s_{1}^{2}

, 5 月 11 日至 20 日的厨余垃圾分出量的方差为

s_{2}^{2}

,5 月 21 日至 30 日的厨余垃圾分出量的方差为

s_{3}^{2}

. 直接写出

s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, s_{3}^{2}

的大小关系.

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26. 在平面直角坐标系

x O y

中,

M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2})

为抛物线

y = a x^{2} + b x + c (a > 0)

上任意两点, 其中

x_{1} < x_{2}

.
（1）若抛物线的对称轴为

x = 1

, 当

x_{1}, x_{2}

为何值时,

y_{1} = y_{2} = c

;
（2）设抛物线的对称轴为

x = t

, 若对于

x_{1} + x_{2} > 3

, 都有

y_{1} < y_{2}

, 求

t

的取值范围.

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27. 在

△ A B C

中,

∠ C = 90^{\circ}, A C > B C, D

是

A B

的中点.

E

为直线

A C

上一动点, 连接

D E

. 过点

D

作

D F ⊥ D E

, 交直线

B C

于点

F

, 连接

E F

.
(1) 如图 1, 当

E

是线段

A C

的中点时, 设

A E = a, B F = b

, 求

E F

的长（用含

a, b

的式子表示);
（2）当点

E

在线段

C A

的延长线上时, 依题意补全图 2, 用等式表示线段

A E, E F, B F

之间的数量关系, 并证明.

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28. 在平面直角坐标系

x O y

中,

⊙ O

的半径为

1, A, B

为

⊙ O

外两点,

A B = 1

.
给出如下定义: 平移线段

A B

, 得到

⊙ O

的弦

A^{'} B^{'}

(

A^{'}, B^{'}

分别为点

A, B

的对应点), 线段

A A^{'}

长度的最小值称为线段

A B

到

⊙ O

的 “平移距离”.
(1) 如图, 平移线段

A B

得到

⊙ O

的长度为 1 的弦

P_{1} P_{2}

和

P_{3} P_{4}

, 则这两条弦的位置关系是（　　）在点

P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}

中, 连接点

A

与点的线段的长度等于线段

A B

到

⊙ O

的 “平移距离”;
(2) 若点

A, B

都在直线

y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}

上, 记线段

A B

到

⊙ O

的 “平移距离” 为

d_{1}

, 求

d_{1}

的最小值;
(3) 若点

A

的坐标为

(2, \frac{3}{2})

, 记线段

A B

到

⊙ O

的 “平移距离” 为

d_{2}

, 直接写出

d_{2}

的取值范围.

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