单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
3 阶行列式 $\left|a_{i j}\right|=\left|\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right|$ 中元素 $a_{21}$ 的代数余子式 $A_{21}=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}a_{21}+a_{11} & a_{22}+a_{12} \\ a_{11} & a_{12}\end{array}\right), P_1=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 则
$\text{A.}$ $P_1 P_2 A=B$
$\text{B.}$ $P_2 P_1 A=B$
$\text{C.}$ $A P_1 P_2=B$
$\text{D.}$ $A P_2 P_1=B$
设 $n$ 阶可逆矩阵 $A 、 B 、 C$ 满足 $A B C=E$ ，则 $B^{-1}=$
$\text{A.}$ $A^{-1} C^{-1}$
$\text{B.}$ $C^{-1} A^{-1}$
$\text{C.}$ $A C$
$\text{D.}$ $C A$
设 3 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^2$ 的秩为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是一个 4 维向量组，若已知 $\alpha_4$ 可以表为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合，且表示法惟一，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，则向量组中
$\text{A.}$ 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
$\text{B.}$ 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
$\text{C.}$ 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
$\text{D.}$ 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是齐次线性方程组 $A x=0$ 的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为 该方程组基础解系的是
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_1+\alpha_2$
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$
$\text{C.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_1-\alpha_2$
$\text{D.}$ $\alpha_1-\alpha_2, \alpha_2-\alpha_3, \alpha_3-\alpha_1$
若 2 阶矩阵 $A$ 相似于 $B=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 2 & -3\end{array}\right), E$ 为 2 阶单位矩阵，则与 $E-A$ 相似的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -4\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ll}-1 & 0 \\ -2 & 4\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ -2 & -4\end{array}\right)$
设实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & -4 & 2 \\ 0 & 2 & -1\end{array}\right)$ ，则 3 元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^T A x$ 的规范形为
$\text{A.}$ $z_1^2+z_2^2+z_3^2$
$\text{B.}$ $z_1^2+z_2^2-z_3^2$
$\text{C.}$ $z_1^2+z_2^2$
$\text{D.}$ $z_1^2-z_2^2$
若 3 阶实对称矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是正定矩阵，则 $A$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 3 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccc}a_{11} & 2 a_{12} & 3 a_{13} \\ 2 a_{21} & 4 a_{22} & 6 a_{23} \\ 3 a_{31} & 6 a_{32} & 9 a_{33}\end{array}\right|=6$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=$
设 $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $A^2-2 A+E=$
设 $A$ 为 2 阶矩阵，将 $A$ 的第 2 列的 $(-2)$ 倍加到第 1 列得到 $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right)$ ，则 $A=$
设 3阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{array}\right)$ ,则 $A^{-1}=$
设向量组 $\alpha_1=(a, 1,1), \alpha_2=(1,-2,1), \alpha_3=(1,1,-2)$ 线性相关，则数 $a=$
已知 $x_1=(1,0,-1)^T, x_2=(3,4,5)^T$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个解向量，则对应齐次线性方程组 $A x=0$ 有一个非零解向量 $\xi=$
设 2 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 1,2 ，它们对应的特征向量分别为 $\alpha_1=(1,1)^T$ ， $\alpha_2=(1, k)^T$ ，则数 $k=$
已知 3 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $0,-2,3$ ，且矩阵 $B$ 与 $A$ 相似，则 $|B+E|=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2$ 的矩阵 $A=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知3阶行列式 $\left|a_{i j}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & x & 3 \\ x & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4\end{array}\right|$ 中元素 $a_{12}$ 的代数余子式 $A_{12}=8$ ，求元素 $a_{21}$ 的代数余子式 $A_{21}$ 的值．
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ ，矩阵 $X$ 满足 $A X+B=X$ ，求 $X$ ．
求向量组 $\alpha_1=(1,1,1,3)^T, \alpha_2=(-1,-3,5,1)^T, \alpha_3=(3,2,-1,4)^T, \alpha_4=(-2,-6,10,2)^T$ 的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出．
设 3 元齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_1+x_2+x_3=0 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+x_2+a x_3=0\end{array}\right.$
（1）确定当 $a$ 为何值时，方程组有非零解
（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．
设矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 5\end{array}\right)$ ，（1）判定 $B$ 是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若 $B$ 可与
对角矩阵相似，求对角矩阵 $\Lambda$ 和可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} B P=\Lambda$ ．
设 3 元二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_2 x_3$ ，求正交变换 $x=P y$ ，将二次型化为标准形．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $A$ 是 $n$ 肤矩阵，且满足方程 $A^2+2 A=0$ ，证明 $A$ 的特征值只能是 0 或－2．