解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且满足 $a_{n+1}+a_n=3 \times 2^n$ ．
（1）求证：$\left\{a_n-2^n\right\}$ 是等比数列；
（2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前项和 $S_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=\frac{4}{5}, a_{n+1}=\frac{4 a_n}{3 a_n+1}, n \in \mathbf{N}^*$ ．
（1）设 $b_n=\frac{a_n}{1-a_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2）在 $b_k$ 与 $b_{k+1}$（其中 $k \in \mathbf{N}^*$ ）之间插入 $2^k$ 个 3 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{c_n\right\}$ ．记 $S_n$ 为数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$ 项和，求 $S_{36}$ ．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n>0, a_1=1, a_2=4, a_n S_n+4 a_{n-1} S_{n-2}=a_n S_{n-2}+4 a_{n-1} S_n(n>2)$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列；
（2）设 $b_n=\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n}$ ，求数列 $\left\{n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$\lambda a_n=S_n+n, \lambda=2 a_1$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 为等比数列；
（2）若 $\lambda>0$ ，求数列 $\left\{n a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n+a_n=\frac{n-1}{n^2+n}, n \in \mathbf{N}^*$ ．
（1）证明：数列 $\left\{S_n-\frac{1}{n+1}\right\}$ 为等比数列；
（2）记 $\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n+1}-S_n$ ，求数列 $\left\{\frac{b_n}{\left(b_n-1\right)\left(b_{n+1}-1\right)}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且满足 $S_n=2 a_n-2\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列；
（2）记 $b_n=\log _2 a_n$ ，数列 $\left\{\frac{1}{b_n b_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求证：$T_n \geq \frac{1}{2}$ ．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_n, 2 n$ 的等差中项为 $a_n$ ．
（1）求证 $\left\{a_n+2\right\}$ 为等比数列；
（2）数列 $\left\{\frac{1}{a_n+3}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，是否存在整数 $k$ 满足 $T_n \in(k, k+1)$ ？若存在求 $k$ ，否则说明理由．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 中 $a_1=2, a_{n+1}=(2-\sqrt{3}) a_n+3-\sqrt{3}, n=1,2,3, ...$.
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 中 $b_1=2, b_{n+1}=\frac{2 b_n+3}{b_n+2}$ ，证明：$\sqrt{3} < b_n \leqslant a_{2 n-1},(n=1,2,3, \mathrm{~L})$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2, a_2=4, a_{n+2}=a_{n+1}+2 a_n$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列．
（2）数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $\frac{1}{b_1}+\frac{2}{b_2}+\cdots+\frac{n}{b_n}=a_{n+1}-2$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．