设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n>0, a_1=1, a_2=4, a_n S_n+4 a_{n-1} S_{n-2}=a_n S_{n-2}+4 a_{n-1} S_n(n>2)$ ．
（1）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列；
（2）设 $b_n=\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n}$ ，求数列 $\left\{n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．