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记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_n, 2 n$ 的等差中项为 $a_n$ ．
（1）求证 $\left\{a_n+2\right\}$ 为等比数列；
（2）数列 $\left\{\frac{1}{a_n+3}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，是否存在整数 $k$ 满足 $T_n \in(k, k+1)$ ？若存在求 $k$ ，否则说明理由．
                        
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