单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $\frac{2 \pi}{3}$ ，集合 $S=\left\{\cos a_n \mid n \in \mathrm{~N}^*\right\}$ ，若 $S=\{a, b\}$ ，则 $a b=$（ ）
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=0, a_{n+1}=\frac{a_n-\sqrt{3}}{\sqrt{3} a_n+1}\left(n \in N_{+}\right)$，则 $a_{20}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，已知 $a_1=2, a_2=3$ ，当 $n \geq 2$ 时，$a_{n+1}$ 是 $a_n \cdot a_{n-1}$ 的个位数，则 $a_{2023}=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 1
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\left\{b_n\right\}: b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}, \quad b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}$ ， $b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}, \cdots$ ，依此类推，其中 $\alpha_k \in \mathbf{N}^*(k=1,2, \mathrm{~L})$ 。则
$\text{A.}$ $b_1 < b_5$
$\text{B.}$ $b_3 < b_8$
$\text{C.}$ $b_6 < b_2$
$\text{D.}$ $b_4 < b_7$
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积 $T_n=1-\frac{2}{15} n$ ，则 $a_n$ 的最大值与最小值的和为
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n a_{n+1}+1=a_n, a_1=2, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{2023}=$
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_1=\frac{3}{5}, a_2=\frac{1}{4}$ ，且 $a_n a_{n+2}=a_{n+1}\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项积为 $\Pi_n$ ，则 $\frac{\Pi_{2023}}{a_{2023}}$ 的值为
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=33, a_{n+1}-a_n=2 n$ ，则 $\frac{a_n}{n}$ 的最小值为
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $d(d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和记为 $S_n\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，满足 $3 a_2+2 a_3=S_3+6$ ，若数列 $\left\{S_n\right\}$ 为单调递增数列，则公差 $d$ 的取值范围为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_2=1,2 S_n=n a_n$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n+1}}{2^n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $\frac{2 S_n}{n}+n=2 a_n+1$ ．
（1）证明：$\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
（2）若 $a_4, a_7, a_9$ 成等比数列，求 $S_n$ 的最小值．
记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_n$ 为数列 $\left\{S_n\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_n}+\frac{1}{b_n}=2$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_n\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式．
已知正项数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=\frac{4^n}{3}-\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=\frac{n}{a_n}$ ，记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n < 4$ ．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $\frac{2 S_n}{n}=a_n+1, a_2=2$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）集合 $A=\left\{a_1, a_2, \mathrm{~L}, a_n\right\}$ ，将集合 A 的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为 $T_n$ ，求 $T_n$ ．
已知各项均为正数的数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $2 \sqrt{S_n}=a_n+1$ ，其中 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若对任意 $n \in \mathrm{~N}_{+}$，且当 $n \geq 2$ 时，总有 $\frac{1}{4 S_1}+\frac{1}{S_2-1}+\frac{1}{S_3-1}+\cdots+\frac{1}{S_n-1} < \lambda$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_1=1, \frac{2 S_n}{a_n}=n+1$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\log _2 \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求集合 $\left\{k \mid T_k \leq 10, k \in \mathrm{~N}^*\right\}$ 中元素的个数．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $3+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots+\frac{a_n}{2^n}=\frac{2 n+3}{2^n}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n < \frac{1}{2}$ ．