已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $3+\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\frac{a_3}{2^3}+\cdots+\frac{a_n}{2^n}=\frac{2 n+3}{2^n}$ ．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）记数列 $\left\{\frac{1}{a_n \cdot a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，证明：$S_n < \frac{1}{2}$ ．