单选题 （共 13 题 ），每题只有一个选项正确
任何一个复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ 都可以表示成 $z=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)(r \geq 0, \theta \in \mathbf{R})$ 的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：$[r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+\mathrm{i} \sin n \theta)(n \in \mathbf{Z})$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理．则 $(1-\sqrt{3} \mathrm{i})^{2022}=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $2^{2022}$
$\text{C.}$ $-2^{2022}$
$\text{D.}$ i
任何一个复数 $z=a+b \mathrm{i}$（其中 $a, b \in \mathrm{R}$ ， i 为虚数单位）都可以表示成 $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$（其中 $r \geq 0, \theta \in \mathrm{R}$ ）的形式，通常称之为复数 $z$ 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： $[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta)(n \in Z)$ ，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，＂$n$ 为偶数＂是＂复数 $\left(\cos \frac{\pi}{2}+i \sin \frac{\pi}{2}\right)^n(n \in Z)$ 为实数＂的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
欧拉公式 $\mathrm{e}^{x \mathrm{i}}=\cos x+\mathrm{i} \sin x$（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是
$\text{A.}$ 复数 $\frac{\mathrm{e}^{\frac{\pi_{\mathrm{i}}}{\mathrm{i}}}}{1+\mathrm{i}}$ 的虚部为 $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ 若 $x \in\left(\frac{5 \pi}{2}, 3 \pi\right)$ ，则复数 $\mathrm{e}^{x \mathrm{i}}$ 对应点位于第二象限
$\text{C.}$ 复数 $\mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{xi}}$ 的模长等于 1
$\text{D.}$ 复数 $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} \mathrm{i}}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x$（ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，$\frac{\mathrm{e}^{\pi i}}{\mathrm{e}^{\frac{\pi i}{\pi^4}} \text { 表示的 }}$复数的虚部为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x(x \in \mathrm{R})$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为数学中的天桥．若复数 $z_1=\mathrm{e}^{i \frac{\pi}{3}}, z_2=\mathrm{e}^{i \frac{\pi}{6}}$ ，则 $z_1 z_2=$
$\text{A.}$ -i
$\text{B.}$ i
$\text{C.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
设复数 $z$ 满足 $(1-\mathrm{i}) z=|3+\mathrm{i}|$ ，则复数 $z$ 的虚部是
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{10}}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{10}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{10}}{2}$
当 $-2 < m < \frac{1}{2}$ 时，复数 $z=\frac{m+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ 在复平面内对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知复数 $z$ 满足 $z^2+2 z+2=0$ ，则 $z \cdot \bar{z}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
设复数 $z$ 满足 $\frac{z-1}{z+1}$ 为纯虚数，则 $|z|=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ 2
已知 i 是虚数单位，则复数 $z=\frac{2-\mathrm{i}^{2022}}{2+\mathrm{i}^{2023}}$ 对应的点所在的象限是
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，虚数 $z=1+b \mathrm{i}$ 是方程 $\mathrm{x}^2+\mathrm{ax}+3=0$ 的根，则 $|z|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $\sqrt{5}$
复数 $z=\frac{2 \mathrm{i}^{2023}}{1+\mathrm{i}}$（其中 i 为虚数单位），则 $z$ 在复平面内对应的点位于
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
已知复数 $z=\frac{6+a \mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}(a \in \mathrm{R})$ 是纯虚数，则 $a$ 的值为
$\text{A.}$ -12
$\text{B.}$ 12
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 3
多选题 （共 5 题 ），每题有多个选项正确
任何一个复数 $z=a+b i$（其中 $a 、 b \in \mathbf{R}, \mathrm{i}$ 为虚数单位）都可以表示成：$z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$的形式，通常称之为复数 $z$ 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现： $z^n=[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta)\left(n \in N_{+}\right)$，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是
$\text{A.}$ $\left|z^2\right|=|z|^2$
$\text{B.}$ 当 $r=1, \theta=\frac{\pi}{3}$ 时，$z^3=1$
$\text{C.}$ 当 $r=1, \theta=\frac{\pi}{3}$ 时， $\bar{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
$\text{D.}$ 当 $r=1, \theta=\frac{\pi}{4}$ 时，若 $n$ 为偶数，则复数 $z^n$ 为纯虚数
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta$（其中 $\mathrm{e}=2.718 \cdots, \mathrm{i}$ 为虚数单位）由瑞士著名数学家欧拉发现，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为＂数学中的天桥＂．根据欧拉公式，下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right|=1$
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} \beta}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+\beta)}$
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\mathrm{ie}^{\overline{\mathrm{i} \theta}}$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha+\theta)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \cos \alpha+\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)} \sin \alpha$
已知复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ ，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列结果为实数的是
$\text{A.}$ $z^2$
$\text{B.}$ $\left|z^2\right|$
$\text{C.}$ $(z+1)(\bar{z}+1)$
$\text{D.}$ $(z-\bar{z}) \cdot \mathrm{i}^{2023}$
已知复数 $z_1, z_2$ ，下列命题正确的是
$\text{A.}$ $\left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|$
$\text{B.}$ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ ，则 $z_1=z_2$
$\text{C.}$ $z_1 \bar{z}_1=\left|z_1\right|^2$
$\text{D.}$ 若 $z_1^2=\bar{z}_1^2$ ，则 $z_1$ 为实数
已知复数 $z_1, z_2$ ，则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ 若 $z_1 z_2 \in \mathbf{R}$ ，则 $z_2=\overline{z_1}$
$\text{B.}$ 若 $z_1 z_2=0$ ，则 $z_1=0$ 或 $z_2=0$
$\text{C.}$ 若 $z_1 z_2=z_1 z_3$ 且 $z_1 \neq 0$ ，则 $z_2=z_3$
$\text{D.}$ 若 $z_1^2=z_2^2$ ，则 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$