欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x$（ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，$\frac{\mathrm{e}^{\pi i}}{\mathrm{e}^{\frac{\pi i}{\pi^4}} \text { 表示的 }}$复数的虚部为
A
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
B
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C
$-\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
D
$\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{i}$
E
F