欧拉公式 $\mathrm{e}^{x \mathrm{i}}=\cos x+\mathrm{i} \sin x$（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，依据欧拉公式，下列选项不正确的是
A. 复数 $\frac{\mathrm{e}^{\frac{\pi_{\mathrm{i}}}{\mathrm{i}}}}{1+\mathrm{i}}$ 的虚部为 $\frac{1}{2}$
B. 若 $x \in\left(\frac{5 \pi}{2}, 3 \pi\right)$ ，则复数 $\mathrm{e}^{x \mathrm{i}}$ 对应点位于第二象限
C. 复数 $\mathrm{i} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{xi}}$ 的模长等于 1
D. 复数 $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} \mathrm{i}}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$