解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
解答下列问题：
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且有 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x>0$ ，试证明存在 $[\alpha, \beta] \subset[0,1]$ ，使得 $f(x)>0(x \in[\alpha, \beta])$ 。
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，$\alpha>0$ ．试对 $[a, b]$ 的任一分划 $\Delta: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ ，以及任意的插点组 $\langle\xi\rangle$ ，计算极限 $\lim _{\Delta \| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\left(\Delta x_i\right)^{1+\alpha}$.
试证明下列函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可积：
（1）$f(x)= \begin{cases}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
（2）$f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
（3）$f(x)= \begin{cases}\ln x \cdot \ln (1+x), & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
试证明下列命题：
（1）设 $f \in R([a, b])$ 。若令 $h(x)=\inf _{[a, x]}\{f(t)\}, H(x)=\sup _{[a, x]}\{f(t)\}, a \leqslant x \leqslant b$ ，则 $h(x), H(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
（2）设 $f \in R([0,1])$ ，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=0$ ，其中
$$
I_n=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+(-1)^n f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right] .
$$
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([0, \pi])$ ．若有 $\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 中至少有两个零点．
（2）设 $f \in C([a, b])$ ，若有 $\int_a^b x^n f(x) \mathrm{d} x=0(n=0,1,2, \cdots, N)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中至少有 $N+1$ 个零点．
（3）设 $f \in C([a, b])$ ，若对满足 $\int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ 的任一连续函数 $\varphi(x)$ ，均有 $\int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv C$ 。
解答下列问题：
（1）求定积分 $\int_a^b x \sqrt{|x|} \mathrm{d} x$ 。
（2）证明 $\ln (q / p) \leqslant(q-p) / p(0 < p < q)$ 。
（3）求下述定积分之值：
（i）$I=\int_0^1\left[\int_0^1 \min \{x, y\} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x$.
（ii）$\left.I=\int_0^1 \int_0^1 \max \{x, y\} \mathrm{d} y\right\} \mathrm{d} x$ ．
Jensen 积分不等式）设 $f \in R([0,1])$ ，且 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[0$ ， $1]$ ，又连续函数 $\varphi(x)$ 在 $[m, M]$ 上是（下）凸的，则
$$
\left.\varphi \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right] \leqslant \int_0^1 \varphi[f(x)] \mathrm{d} x
$$
试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则
$$
\int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}} .
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则
$$
|f(y)-f(x)| \leqslant M|y-x|^{1 / 2} .
$$
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则
$$
\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{3}
$$
试证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}(n=1,2, \cdots)$ ．
试证明下列极限等式：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sec ^2 \frac{i \pi}{4 n}=\frac{4}{\pi}$ ．
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{n} /\left[n+\frac{k}{n}\right]=\frac{2}{\pi}$ ．
试求下列极限：
（1）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1+2^{\alpha+1}+3^{\alpha+1}+\cdots+n^{\alpha+1}}{1+2^\alpha+3^\alpha+\cdots+n^\alpha}(\alpha>-1)$ ．
（2）$I=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^k+3^k+\cdots+(2 n-1)^k}{n^{k+1}}(k \geqslant 0)$ ．