试证明下列命题：
（1）设 $f \in C([0, \pi])$ ．若有 $\int_0^\pi f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ，则 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 中至少有两个零点．
（2）设 $f \in C([a, b])$ ，若有 $\int_a^b x^n f(x) \mathrm{d} x=0(n=0,1,2, \cdots, N)$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 中至少有 $N+1$ 个零点．
（3）设 $f \in C([a, b])$ ，若对满足 $\int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ 的任一连续函数 $\varphi(x)$ ，均有 $\int_a^b f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x) \equiv C$ 。