试证明下列命题：
（1）设 $f \in R([a, b])$ 。若令 $h(x)=\inf _{[a, x]}\{f(t)\}, H(x)=\sup _{[a, x]}\{f(t)\}, a \leqslant x \leqslant b$ ，则 $h(x), H(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
（2）设 $f \in R([0,1])$ ，则有 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n=0$ ，其中
$$
I_n=\frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+(-1)^n f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right] .
$$