试证明下列命题：
（1）设 $f \in C^{(1)}([0,1])$ ，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，则
$$
\int_0^1\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}} .
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f^{\prime} \in R([a, b])$ ，则
$$
|f(y)-f(x)| \leqslant M|y-x|^{1 / 2} .
$$
（3）设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二次可导，且有 $f(1)=0,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，则
$$
\left|\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{3}
$$