单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $y=\frac{\sqrt{4-x^2}}{\ln (x+1)}$ 的定义域为
$\text{A.}$ $[-2,2]$
$\text{B.}$ $(-1,2]$
$\text{C.}$ $(-1,0) \cup(0,2]$
$\text{D.}$ $(-1,1) U (1,2]$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _3(x+1)-2, x \geqslant 0 \\ f(x+3), x < 0\end{array}\right.$ ，则 $f(-2022)= $ ．
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 3
＂函数 $f(x)=\sin x+(a-1) \cos x$ 为奇函数＂是＂$a=1$＂的（ ）
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知函数 $f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right) \cdot \ln |x|$ ，则函数 $y=f(x)$ 的图象可能是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内． 1936 年浙江省立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现。这里的巨型城址，面积近 630 万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今 3500 年前后的殷商时期，2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14的残留量约为初始量的 $55.2 \%$ 。已知经过 $x$ 年后，碳 14 的残余量 $y=k(1-p)^x(k \in R , k>0,0 < p < 1 ; x \ldots 0)$ ，碳 14 的半衰期为 5730 年，则以此推断此水坝大概的建成年代是 （参考数据： $\log _2 0.552 \approx-0.8573$ ）
$\text{A.}$ 公元前2893年
$\text{B.}$ 公元前2903年
$\text{C.}$ 公元前2913年
$\text{D.}$ 公元前2923年
函数 $y=[x]$ 广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，例如：$[-2.1]=-3,[3.1]=3$ ．已知函数 $f(x)=\left[\log _2 x\right]$ ，则 $f(1)+f(3)+f(5)+\ldots+f\left(2^{10}+1\right)=$
$\text{A.}$ 4097
$\text{B.}$ 4107
$\text{C.}$ 5119
$\text{D.}$ 5129
若定义在 $R$ 上的奇函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减，且 $f(2)=0$ ，则满足 $(2 x-1) f(x+1) \geq 0$的 $x$ 的取值范围是（ ）
$\text{A.}$ $(-\infty,-1] \cup\left[\frac{1}{2}, 3\right]$
$\text{B.}$ $(-\infty,-3] \cap[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-3,-1] \cup\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
$\text{D.}$ $\left[-3, \frac{1}{2}\right] \cup[1,+\infty)$
设 $a=\log _4 3, b=\log _5 4, c=2^{-0.01}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（ ）
$\text{A.}$ $b < a < c$
$\text{B.}$ $a < b < c$
$\text{C.}$ $a < c < b$
$\text{D.}$ $b < c < a$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
下列函数在区间 $(0,1)$ 上单调递增的是
$\text{A.}$ $y=(x-1)^2$
$\text{B.}$ $y=\frac{1}{1-x}$
$\text{C.}$ $y=1-|x-1|$
$\text{D.}$ $y=2^{-|x|}$
已知函数 $f(x)=\frac{x}{2^x+1}-\frac{x}{a}$ 为偶函数，则（ ）
$\text{A.}$ $a=2$
$\text{B.}$ $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增
$\text{C.}$ $f(x)$ 的最大值为 0
$\text{D.}$ $f(x)>-\frac{1}{6}$ 的解集为 $(-1,1)$
若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值域都相同，则称这两函数为＂伙伴函数＂．下列函数中与函数 $f(x)=x^4$ 不是＂伙伴函数＂是
$\text{A.}$ $y=2^{|x|}-1$
$\text{B.}$ $y=\frac{x^2}{1+x^2}$
$\text{C.}$ $y=\frac{x^2}{2}+\cos x-1$
$\text{D.}$ $y=\ln |x|$
高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有＂数学王子＂之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $f(x)=[x]$ 称为高斯函数，又称为取整函数．如：$f(2.3)=2, f(-3.3)=-4$ ．则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的单调递增函数
$\text{B.}$ 函数 $g(x)=f(x)-\frac{2}{3} x$ 有 2 个零点
$\text{C.}$ $f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数
$\text{D.}$ 对于任意实数 $a, b$ ，都有 $f(a)+f(b) \leq f(a+b)$
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
函数 $f(x)=\frac{a x-b}{4-x^2}$ 是定义在 $(-2,2)$ 上的奇函数，且 $f(1)=\frac{1}{3}$ ．
（1）确定 $f(x)$ 的解析式；
（2）判断 $f(x)$ 在 $(-2,2)$ 上的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于 $t$ 的不等式 $f(t-1)+f(t) < 0$ ．
某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，1小时内供水总量为 $120\sqrt{6t}$吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨?
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象?
设函数 $f(x)=a^x-a^{-x}(a>0, a \neq 1)$ ．
（1）若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$ ，求 $a-a^{-1}$ 的值；
（2）若 $f(1)=\frac{3}{2}$ ，设 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x)$ ，求 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最小值．