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设函数 $f(x)=a^x-a^{-x}(a>0, a \neq 1)$ ．
（1）若 $f\left(\frac{1}{2}\right)=3$ ，求 $a-a^{-1}$ 的值；
（2）若 $f(1)=\frac{3}{2}$ ，设 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x)$ ，求 $g(x)$ 在 $[1,2]$ 上的最小值．
                        
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