俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性方程组)

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俞正光编著线性代数同步辅导2003版(线性方程组)

一、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

1. 判断下列命题是否正确．
设

A \in M_{m, n}

，对于线性齐次方程组

A x = 0

，若向量组

η_{1}, η_{2}, η_{3} \in R^{n}

，是它的一个基础解系，则

A.

η_{1} + η_{2}, η_{2} + η_{3}, η_{3} + η_{1}

，也是

A x = 0

的一个基础解系．

B.

η_{1} - η_{2}, η_{2} - η_{3}, η_{3} - η_{1}

也是

A x = 0

的一个基础解系。

C.

与

η_{1}, η_{2}, η_{3}

等价的向量组

ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3}

也是

A x = 0

的一个基础解系．

D.

与

η_{1}, η_{2}, η_{3}

等秩的向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

也是

A x = 0

的一个基础解系。

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二、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

2. 求解齐次线性方程组

{\begin{array}{r} x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0 \\ 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0 \\ - x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 3 x_{4} - 3 x_{5} = 0 \\ 2 x_{3} + 5 x_{4} - 2 x_{5} = 0 \end{array}

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t

为何值时，齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + t x_{3} = 0 \\ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 0 \\ - x_{1} + t x_{2} + x_{3} = 0 \end{cases}

有非零解，并此时求其一般解。

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4. 已知线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0 \\ a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = 0 \\ a^{2} x_{1} + b^{2} x_{2} + c^{2} x_{3} = 0 (a, b, c 均不为零) \end{cases}

问：（1）

a, b, c

满足什么条件时，方程组只有零解？
（2）

a, b, c

满足什么条件时，方程组有无穷多组解，并此时求出全部解。

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5. 已知方程组（I）和方程组（II）为
（I）

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0, \\ x_{2} - x_{4} = 0, \end{cases}

（II）

{\begin{cases} x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0, \\ x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0 . \end{cases}

求（I）和（II）的公共解．

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6. 已知

α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}

是线性方程组

A x = 0

的一个基础解系，若

β_{1} = α_{1} + t α_{2}, β_{2} = α_{2} + t α_{3}, β_{3} = α_{3} + t α_{4}, β_{4} = α_{4} + t α_{1}

。讨论实数

t

满足什么关系时，

β_{1}, β_{2}, β_{3}, β_{4}

也是

A x = 0

的一个基础解系。

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(I) {\begin{array}{cc} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{12 n} x_{2 n} & = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{22 n} x_{2 n} & = 0 \\ ⋮ \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n 2 n} x_{2 n} & = 0 \end{array}

的一个基础解系为

{(b_{11}, b_{12}, \dots, b_{12 n})}^{T}, {(b_{21}, b_{22}, \dots, b_{22 n})}^{T}, \dots, (b_{n 1}, b_{n 2}, \dots

，

{b_{n, 2 n})}^{T}

，

试写出线性方程组
（ II ）

{\begin{array}{lc} b_{11} y_{1} + b_{12} y_{2} + \dots + b_{12 n} y_{2 n} & = 0 \\ b_{21} y_{1} + b_{22} y_{2} + \dots + b_{22 n} y_{2 n} & = 0 \\ ⋮ \\ b_{n 1} y_{1} + b_{n 2} y_{2} + \dots + b_{n 2 n} y_{2 n} & = 0 \end{array}

的通解，并说明理由．

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8. 已知任意一个

n

维向量均为齐次线性方程组
（I）

{\begin{array}{rc} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = 0 \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = 0 \end{array}

的解，证明这个方程组的系数全为 0 ．

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三、证明题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设

A \in M_{m, n}, B \in M_{n, s}

，证明：

(A B) x = 0

与

B x = 0

同解

\Leftrightarrow r (A B) = r (B)

。

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10. 设线性方程组（ I ）：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = 0 \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = 0 \end{cases}

β = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})

是

n

维行向量，若方程组（I）的解，全是方程（II）

b_{1} x_{1} +

b_{2} x_{2} + \dots + b_{n} x_{n} = 0

的解，证明

β

可被

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性表出，其中

α_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}) (i = 1, 2, \dots, m)

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