一、解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：对任意的 ．
2. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，证明：对任意的 ．
3. 设函数 ．
（1）求 时， 的单调区间；
（2）求证：当 时， ．
4. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，令 ，若 为 的极大值点，证明： ．
5. 已知函数 ．
（1）判断 的单调性；
（2）若 ，求证： ，其中 e 是自然对数的底数．
6. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
7. 已知 ．
（I）讨论 的单调性；
（II）若 ，证明： ．
8. 已知
（1）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）证明：对一切 ，都有 ．
9. 已知函数 ．
（I）若 在区间 内单调递增，求 的取值范围；
（II）若 （ 为自然对数的底数），证明：当 时， ．
10. 已知函数 为自然对数的底数．
（1）试判断函数 的零点个数并说明理由；
（2）证明： ．
11. 设 ，
（1）试讨论 的单调性；
（2）当 时，证明 恒成立．
12. 已知函数 ．
（1）试讨论函数 的单调性；
（2）对 ，且 ，证明： ．