2023张宇《冲刺8套卷》数学一第二套（部分）

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2023张宇《冲刺8套卷》数学一第二套（部分）

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = {\begin{cases} 1 + \sin \frac{π}{2} x, & x ⩽ 1, \\ 2 - \sqrt{x - 1}, & x > 1 . \end{cases}

对

f (x)

给出两个命题: (1) 点

x = 1

是

f (x)

的一个极值点；(2) 点

(1, 2)

是曲线

y = f (x)

的一个拐点. 则

A.

(1) 和 (2) 都正确.

B.

(1) 正确, 但 (2) 不正确.

C.

(1) 不正确, 但 (2) 正确.

D.

(1) 和 (2) 都不正确.

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2. 设函数

f (x)

在闭区间

[0, 2]

上二阶可导, 且

f^{''} (x) > 0

, 又

f (0) = 2 f (1) = f (2) = 2

, 则

A.

1 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 2

B.

\frac{3}{2} < \int_{0}^{2} f (x) d x < \frac{5}{2}

C.

2 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 3

D.

3 < \int_{0}^{2} f (x) d x < 4

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3. 设函数

f (x) = \iint_{u^{2} + v^{2} ⩽ x^{2}} \arctan (1 + \sqrt{u^{2} + v^{2}}) d u d v (x > 0)

, 则

lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{e^{- 2 x} - 1 + 2 x} =

A.

- \frac{π^{2}}{8}

B.

- \frac{π^{2}}{4}

C.

\frac{π^{2}}{4}

D.

\frac{π^{2}}{8}

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4. 设

f (x) = {\begin{cases} x + 1, & 0 ⩽ x ⩽ π, \\ 0, & - π ⩽ x < 0, \end{cases} S (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n \dot{x})

是

f (x)

以

2 π

为周期的傅里叶级数, 则

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} =

A.

- \frac{π}{4}

B.

\frac{π}{4}

C.

- \frac{π}{2}

D.

\frac{π}{2}

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5. 设

f (x) = | \begin{array}{ccccc} x + 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & x + 2 & 3 & \dots & n \\ 1 & 2 & x + 3 & \dots & n \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & 2 & 3 & \dots & x + n \end{array} |

, 则

f^{(n - 1)} (0) =

A.

\frac{1}{2} n (n + 1)

B.

\frac{1}{2} (n + 1)!

C.

n!

D.

(n + 1)!

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6. 设

A

是

m \times n

矩阵,

m < n, r (A) = m

, 以下选项中错误的是

A.

存在

n

阶可逆矩阵

Q

, 使得

A Q = (E_{m} : O)

B.

存在

m

阶可逆矩阵

P

, 使得

P A = (E_{m} : O)

C.

齐次线性方程组

A x = 0

有零解。

D.

非齐次线性方程组

A x = b

有无穷多解.

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7. 设

A

是 3 阶实矩阵，则 "

A

是实对称矩阵" 是 "

A

有 3 个相互正交的特征向量"的

A.

充分非必要条件。

B.

必要非充分条件.

C.

充分必要条件.

D.

既非充分也非必要条件.

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8. 设某人每次射击命中的概率都为

p (0 < p < 1)

, 则他第 8 次射击恰好是第 4 次命中的概率为

A.

35 p^{3} (1 - p)^{4}

B.

35 p^{4} (1 - p)^{3}

C.

35 p^{4} (1 - p)^{4}

D.

35 p^{5} (1 - p)^{3}

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9. 设

X, Y

是两个随机变量,

E (X) = 2, E (Y) = - 1, D (X) = 9, D (Y) = 16

, 且

X, Y

的相关系数为

ρ = - \frac{1}{2}

, 已知由切比雪夫不等式可得

P {| X + Y - 1 | < 10} ⩾ k

, 则

k

的值等于

A.

\frac{9}{16}

B.

\frac{3}{4}

C.

\frac{21}{25}

D.

\frac{87}{100}

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 若四阶常系数齐次线性微分方程有一个解为

y = x e^{x} \cos 2 x

, 则该方程的通解为

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11. 设

f (x)

为

[0, 3]

上的非负连续函数, 且满足

f (x) \int_{1}^{2} f (x t - x) d t = 2 x^{2}, x \in [0, 3]

, 则

f (x)

在区间

[1, 3]

上的平均值为

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12. 设函数

f (x, y)

可微,

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处指向点

P_{1} (- 7, 16)

的方向导数等于

\frac{13}{17}

, 指向点

P_{2} (6, - 11)

的方向导数等于

- \frac{16}{13}

, 则

f (x, y)

在点

P_{0} (1, 1)

处的最大方向导数为

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 设可导函数

f (x)

满足

\int x^{3} f^{'} (x) d x = x^{2} \cos x - 4 x \sin x - 6 \cos x + C

, 且

f (2 π) = \frac{1}{2 π}

, 求

\int f (x) d x

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14.
设空间曲线

L : {\begin{cases} z = x^{2} + 2 y^{2}, \\ z = 6 - 2 x^{2} - y^{2}, \end{cases}

从

z

轴正向往负向看为逆时针方向, 计算曲线积分

I = \oint_{L} (z^{2} - y) d x + (x^{2} - z) d y + (x - y^{2}) d z .

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15. 设总体

X

的概率密度

f (x; θ) = {\begin{cases} 1, & θ - \frac{1}{2} ⩽ x ⩽ θ + \frac{1}{2}, \\ 0, & 其他, \end{cases}

其中

- \infty < θ < + \infty . X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为取自总体

X

的简单随机样本, 并记

X_{(1)} = min {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}, X_{(n)} = max {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}

(1) 求参数

θ

的矩估计量

{\hat{θ}}_{M}

和最大似然估计量

{\hat{θ}}_{L}

;
(2) 判断

\frac{X_{(1)} + X_{(n)}}{2}

是否为

θ

的无偏估计量, 并说明理由.

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